Szerkesztő:Márkus/piszkozat

A Yablo egy nagyon izgalmas paradoxon. Olyan, mint a Hazug, csak másmilyen. Ettől érdekes. Kategória: érdekes paradoxonok, amelyek nem pont olyanok, mint a hazug.

omega-inkonzisztencia: A theory is ω-consistent if it is not ω-inconsistent, and is ω-inconsistent if there is a predicate P such that for every specific natural number n the theory proves ~P(n), and yet the theory also proves that there exists a natural number n such that P(n). That is, the theory says that a number with property P exists while denying that it has any specific value. The ω-consistency of a theory implies its consistency, but consistency does not imply ω-consistency. J. Barkley Rosser later strengthened the incompleteness theorem by finding a variation of the proof that does not require the theory to be ω-consistent, merely consistent.

In mathematical logic, an ω-consistent (or omega-consistent) theory is a theory (collection of sentences) that is not only (syntactically) consistent (that is, does not prove a contradiction), but also avoids proving certain infinite combinations of sentences that are intuitively contradictory. The name is due to Kurt Gödel, who introduced the concept in the course of proving the incompleteness theorem.

If T is a theory that interprets arithmetic (that is, there is a way to understand some of its objects of discourse as natural numbers), then T is ω-inconsistent if, for some property P of natural numbers (defined by a formula in the language of T), T proves P(0), P(1), P(2), and so on (that is, for every natural number n, T proves that P(n) holds), but T also proves that there is some natural number n such that P(n) fails. This may not lead directly to an outright contradiction, because T may not be able to prove for any specific value of n that P(n) fails, only that there is such an n.

T is ω-consistent if it is not ω-inconsistent.

Egy elmélet (formulák halmaza) omega-konzisztens, ha nem csak (szintaktikailag) konzisztens, de nincs egyetlen olyan végtelen alhalmaza sem, ami intuitíve ellentmondást tartalmaz. Egy elmélet (formulák halmaza) omega-inkonzisztens, ha bizonyítható, hogy van olyan P tulajdonság, hogy minden n természetes számra ~P(n) fennáll, miközben az is bizonyítható, hogy van olyan n, hogy P(n). Ez nem feltétlenül vezet közvetlenül paradoxonhoz, ha nem tudhatjuk n mely értékére áll fenn ~P(n), csak azt tudjuk, hogy létezik ilyen n. Ha egy elmélet omega-konzisztens, akkor konzisztens is, de fordítva nem feltétlenül.Ha inkonzisztens, akkor omega-inkonzisztens is, de fordítva nem feltétlenül.

kompaktsági tétel: elsőrendű mondatok halmazánka akkor és csakkor van modellje(kielégíthető), ha minden véges alhalmmazának is van modellje. vagy Minden inkonzisztens (akár végtelen) elsőrendű elméletnek(mondat halmaz) van véges inkonzisztens alhalmaza.

Mirim-par. A Mirimanoff-paradoxon - a Russell-paradoxonhoz hasonlóan - illusztrálja, hogy a halmazalkotásra vonatkozó korlátozásokat teljesen nélkülöző naív halmazelméletben milyen ellentmondások állhatnak elő. A paradoxon érvényes továbbá az axiomatikus halmazelméletben is, mégpedig ZFC^---ben.(ZFC-vel megegyező axióma rendszer, leszámítva a Regularitás Axiómáját) Vegyük az összes jólfundált halmaz halmazát(M). Kérdés: jólfundált-e M? Egy halmaz, aminek minden eleme jólfundált, maga is jólfundált kell hogy legyen, M pedig pontosan ilyen. Mivel M egyrészt jólfundált, másrészt tartalmazza az összes jólfundált halmazt, így magát is tartalmaznia kell. Ekkor előáll egy végtelen, M-ből induló ∈-lánc, jelesül: M ∋ M ∋ M ... Tehát M nem-jólfundált. Ellentmondás.

Megalapozás

Minden halmaz vagy jólfundált, vagy nem jólfundált, attól függően, hogy kiindul-e belőle egy végtelen ∈-lánc, vagy sem. A jólfundáltság egy jól meghatározott tulajdonságnak tűnik, így léteznie kell egy olyan halmaznak, ami pontosan az ezzel a tulajdonsággal bíró dolgokat, esetünkben halmazokat tartalmazza. Ez a halmaz lesz M:

M: ∀x (x∈M ⇔ jólfundált(x))

Mint minden halmazról, M-ről is megkérdezhetjük: jólfundált, vagy nem-jólfundált? M akkor lehetne nem-jólfundált, ha lenne legalább egy olyan eleme, amiből indul egy végtelen leszálló ∈-lánc. Ilyen eleme azonban nem lehet, mert elemei mind jólfundáltak. Tehát M is jólfundált, és mint ilyen, M definiciójából fakadóan, eleme saját magának.

Mirimano�'s paradox (for na?�ve set theory) is this: A set is wellfounded if it heads no in�nite descending epsilon chains; it is not the case that x has a member which has a member which has a member and so on inde�nitely. Some sets are well-founded, and others aren't; the universal set U, for instance, is not well-founded since U 3 U 3 U 3 U 3 � � � . Consider the set W of all well-founded sets. On the one hand it is well-founded, because an in�nite descending chain from W requires an in�nite descending chain from one of its members, and that is impossible as its members are well-founded. But if as this argument shows W is well-founded, then it belongs to the set of all well-founded sets, that is, it belongs to itself, which makes it not well-founded after all.

jólfundáltság

Egy halmaz nem-jólfundált, ha (első) tagja egy olyan sorozatnak, melyben minden rákövetkező tag az előző eleme, azaz indul belőle egy végtelen, „befelé” futó „∈-sor”. Formálisan: a₀ nem-jólfundált ≡ ∃a₁ ∃a₂ ∃a₃ … ∃a_n (a₁∈a₀, a₂∈a₁ ... a_n∈a_n-1 Ha nem indul belőle ilyen végtelen "∈-sorozat”,azaz nem létezik fennt leírt a₁ elem, akkor a₀ jólfundált.

Példák:

• jólfundált halmaz: 8 osztói
• nem-jólfundált halmaz: a= {a} ( ={{...{a}}...})
• jólfundált reláció: szimmetrikus
• nem-jólfundált reláció: reflexív

Jólfundáltsággal kapcsolatos paradoxon

A pontosan a jólfundált halmazokat tartalmazó halmazzal kapcsolatban merül fel a Mirimanoff-paradoxon. Jólfundált-e ez a halmaz? Azt kell higgyük, igen, hiszen minden eleme jólfundált, azaz per definitionem nem indul ki belőle egyetlen végtelen ∈-sorozat sem. Ha viszont jólfundált, akkor eleme kell hogy legyen magának, hiszen kiindulásként lefektettük, hogy az összes jólfundált halmazt tartalmazza. Azonban ha egy halmaz eleme magának, akkor garantált, hogy nem-jólfundált (ld. „Példák”)