Szerkesztő:Bohocmasni/Koordinátageometria
Koordinátageometria
- definíció (?)
- A koordinátageometria, más néven analitikus geometria a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg, azaz mind a síkbeli, mind a térbeli geometriai alakzatokhoz mennyiséget rendel. A síkbeli geometriában például egy a pontnak az x-y koordináta-rendszerben egy számpár felel meg, mondjuk P(x,y). Az egyenesnek egy elsőfokú (lineáris) egyenlet; a körnek, ellipszisnek, parabolának, hiperbolának kétismeretlenes másodfokú egyenlet felel meg.
- helyett:
- A koordinátageometria a geometriai alakzatok, az őket meghatározó egyenletek, és a koordináta-rendszer kapcsolatát vizsgálja. A koordináta-rendszer egyik szükséges feltétele szerint minden pontot egyértelműen meghatároznak a koordinátái, tehát egy egyenlet (vagy egyenletrendszer) megoldáshalmaza egyértelműen meghatároz egy ponthalmazt; és minden ponthalmazhoz tudunk találni olyan egyenletrendszert, amelynek csak a ponthalmazunk a megoldása.
- A koordináta-rendszer, a ponthalmaz és az egyenletek függésben állnak egymással. Például: Ha van egy f görbe, egy K koordináta-rendszer, és egy E egyenlet, akkor egy új, K' koordináta-rendszerben az E egyenletrendszer f->f' megoldáshalmaza geometriailag hogyan változik; vagy egy f-en elvégzett geometriai művelet milyen hatással van az őt leíró E egyenletrendszerre, stb.
- A koordinátageometria segít a geometriai problémák lekezelésében, szemléletes (geometriai) jelentést ad a függvény analízisnek és a komplex számoknak s a rajta végzett műveleteknek.
- koordináta-rendszer
- - koordináta-rendszer mint vektortér; egyértelműségi tétel; két lehetséges bázisvektorból következik, hogy több vektor nem bázisvektorok
- - polárkoordináta-rendszer
- - koordinátarendszer transzformációk mátrixokkal
- triviális alakzatok: üres-sík, teli-sík, pont (helyvektor), egyenes, kör
- - másodrendű görbék
- két pont távolsága
- egyenes egyenletei
- - egyenes két ponton át
- - egyenes nullára rendezve
- - egyenes, mint függvény
- - egyenes normálvektorral
- - sík normálvektorral
- - Hesse féle alak
- - Hesse-féle alak vektoros levezetése
- pont és egyenes előjeles távolsága
- -akár több bizonyítás, skalár szorzás, Hesse-alak, diszkrimináns 0 és csak egy metszés
- háromszög determinánsa
- kör egyenlete
- - körön kívül-belül
- skalár és vektorszorzás
- néhány alkalmazása
- - analízis, racionális/irracionális pontok, szerkeszthetőség