Fermat-prímteszt

A Fermat-prímteszt (vagy Fermat-féle prímszámpróba) egy valószínűségi prímteszt. A kis Fermat-tételen alapul, ami kimondja, hogy ha p prím, akkor a^p-1 kongruens 1 mod p, ha p nem osztója a-nak.

Menete

Meg kívánjuk vizsgálni, hogy n szám 1-nél nagyobb páratlan egész prím-e. Legyen 1<a<n. Euklidészi algoritmussal ellenőrizhető, hogy n és a relatív prímek. Ha nem azok, akkor n bukja a tesztet, összetett.

Ha n prím, akkor \a^n-1 kongruens 1 mod n. Ha nem így van, akkor n bukja a tesztet, összetett. Ha igen, akkor újabb véletlen a -val folytatódik a vizsgálat, egészen addig, amíg eléggé biztossá nem válik, hogy n valószínűleg prím. A legtöbb összetett szám ugyanis legfeljebb 1/2 valószínűséggel állja a tesztet egy véletlen a -ra.

Álprímek

Ha n összetett, és \a^n-1 kongruens 1 mod n valamely a -ra, akkor n a alapú álprím, másként pszeudoprím. Ilyen például a 341, ami álprím a 2 alapra.

Ha a kongruencia minden, az n -hez relatív prím a -ra fennáll, akkor n univerzális álprím, más néven Carmichael-szám. A legkisebb ilyen szám az 561. Végtelen sok ilyen szám van, de viszonylag kevés.

Legyen most n páratlan pozitív egész. Teljesül a következő

Tétel:

1. n akkor és csak akkor álprím a b alapra, ha a mod n maradékosztályok csoportjában b rendje osztója n-1 -nek.

2. Legyen lnko(b_1,n)=lnko(b_2,n)=1. Ha n álprím a b_1 és a b_2 alapra nézve, akkor álprím a b_1b_2, és a \b_1b_2^-1 alapokra is, ahol \b_2^-1 a redukált mod n maradékosztályok csoportján értendő.

3. Ha n csak egyetlen hozzá relatív prím t -re is bukja a Fermat-tesztet, akkor a redukált maradékosztályoknak legalább a felére bukja.

Bizonyítás:

1. Ha b d rendje osztója n-1 -nek, akkor \bn-1 kongruens 1 mod n, mert akkor n-1=kd valamely egész k -ra, így \b^(n-1)=b^(kd)=(b^d)k kongruens 1^k=1 mod n.

Vizsgáljuk most a redukált mod n maradékosztályokat. Ha ebben a csoportban valamely elemre igaz az, hogy \a^n-1 kongruens 1 mod n, és egy másik k kitevőre is kongruens 1 mod n, akkor \a^{n-1-k<\sup> kongruens 1 mod n is teljesül. Így le lehet folytatni az euklideszi algoritmust, és kiderül, hogy d=lnko(n-1,k) -ra is igaz, hogy a^d kongruens 1 mod n. Tehát van egy d osztója n-1 -nek, amire a kongruencia teljesül.}

Ha a legkisebb ilyen k -t vesszük, akkor ez az előzőek szerint osztója lesz n-1 -nek, mert ha nem lenne meg maradéktalanul benne, akkor az a maradék kisebb lenne. Ez a legkisebb k kitevő pedig definíció szerint a maradékosztályának rendje a redukált maradékosztályok csoportjában.

2. Az kell, hogy az ilyen redukált maradékosztályok csoportot alkotnak. Ez így van, mert egyrészt \(b_1)^d(b_2)^d=(b_1b_2)^d (merthogy a redukált maradékosztályok csoportja kommutatív). Másrészt, ha b rendje d, akkor inverzének rendje is d

3. Legyenek most b_1<b_2< ... <b_k páronként inkongruens alapok, amelyekre n álprím. Most tekintsünk egy olyan n -hez relatív prím t -t, amelyre n bukja a tesztet. Szorozzuk meg vele az előbbi b_1<b_2< ... <b_k számokat, ezek páronként inkongruensek lesznek.

Állítás - n bukja a tesztet ezekre a tb_1<tb_2< ... <tb_k számokra.

Tegyük fel indirekt, hogy tb_i -re nem bukja a tesztet, azaz n álprím erre az alapra. Ekkor mod n számolva a redukált maradékosztályok csoportjában n a \tb_ib_i^-1 maradékosztály minden elemére álprím, így a t számra is, ami ellentmondás.

A Carmichael-számok karakterizációja

Tétel:

Legyen n páratlan összetett szám. n akkor és csak akkor Carmichael-szám, ha teljesülnek rá a következők:

1. n négyzetmentes

2. Minden p prímosztójára p-1 osztója n-1 -nek.

Bizonyítás

1. Tegyük fel, hogy \p² osztója n -nek. Belátjuk, hogy n nem lehet Carmichael-szám.

Mivel n páratlan, azért p>2. Vegyünk egy g primitív gyököt \p². Legyen m a legnagyobb olyan osztója n -nek, ami négyzetmentes, és nem osztható p -vel. Tekintsük a következő kongruenciarendszert:

b kongruens g mod p^2

b kongruens 1 mod m

Ez megoldható, mert m és p^2 relatív prímek. Vegyük a kongruenciarendszer egy b megoldását.

Állítás - n bukja a tesztet a b alapra nézve.

Tegyük fel indirekt, hogy \b^(n-1) kongruens 1 mod n. Ekkor a kongruencia \p² -re is teljesül, hiszen \p² osztója n -nek. \b mod p² rendje osztója n-1 -nek, de b primitív gyök \mod p². Ezért p-1 és p is osztója n-1 -nek, és ez ellentmondás, mert két szomszédos egész szám mindig relatív prím egymáshoz.

2. Legyen most n páratlan, összetett és négyzetmentes. Ha most b relatív prím n -hez, akkor a Fermat-tétel szerint teljesül \b^(p-1) kongruens 1 mod p. Mivel p osztója n -nek, azért \b^(n-1) kongruens 1 mod p fennáll minden b relatív prímre és p prímosztóra. Tekintsük a következő kongruenciarendszert:

b kongruens g mod p

b kongruens 1 mod m,

ahol m=n/p, és g primitív gyök mod p

Ez megoldható, mert m és \p² relatív prímek. Vegyük a kongruenciarendszer egy b megoldását.

Következik, hogy \b^n-1 kongruens g^n-1 mod p. Ez teljesül, ha p-1 osztója n-1 -nek, ugyanis g rendje p-1 mod p, és éppen ez az állítás. Különben \b^(n-1) nem kongruens 1 mod p, így \b^p-1 nem kongruens 1 mod n

Források

• N. Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography 1994
• Freud Róbert - Gyarmati Edit: Számelmélet