„Extenzionalitási axióma” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
11. sor: | 11. sor: | ||
* A halmazelméleti axiómarendszereket olykor azonosságjel-mentes elsőrendű nyelven vezetik be. Ilyenkor az [[extenzionalitási axióma]] a halmazegyenlőség definíciójává válik (a megfordításával együtt kimondott változatában). |
* A halmazelméleti axiómarendszereket olykor azonosságjel-mentes elsőrendű nyelven vezetik be. Ilyenkor az [[extenzionalitási axióma]] a halmazegyenlőség definíciójává válik (a megfordításával együtt kimondott változatában). |
||
* [[Atomos halmazelmélet|Atomos halmazelméletekben]] az axióma a következő, gyengébb formát veszi fel: |
* [[Atomos halmazelmélet|Atomos halmazelméletekben]] az axióma a következő, gyengébb formát veszi fel: |
||
:<math>\forall x \forall y \, ( \mathrm{m}(x) \land \mathrm{m}(y) \land |
:<math>\forall x \forall y \, ( ( \mathrm{m}(x) \land \mathrm{m}(y) \land \forall z \, ( z \in x \leftrightarrow z \in y ) ) \rightarrow x = y )</math> |
||
:(<math>\mathrm{m}(x)</math> rövidíti azt, hogy ''x'' halmaz.) A gyengítésre azért van szükség, hogy különbséget lehessen tenni az atomok között. Erre a változatra ''gyenge extenzionalitásként'' szoktak hivatkozni. |
:(<math>\mathrm{m}(x)</math> rövidíti azt, hogy ''x'' halmaz.) A gyengítésre azért van szükség, hogy különbséget lehessen tenni az atomok között. Erre a változatra ''gyenge extenzionalitásként'' szoktak hivatkozni. |
||
* [[Osztályrealista halmazelmélet|Osztályrealista halmazelméletekben]] (például az [[Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet|NBG]]-ben) általában valódi osztályokra is kiterjesztik az axiómát. |
* [[Osztályrealista halmazelmélet|Osztályrealista halmazelméletekben]] (például az [[Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet|NBG]]-ben) általában valódi osztályokra is kiterjesztik az axiómát. |
A lap 2008. február 18., 12:54-kori változata
Az extenzionalitási axióma (röviden: extenzionalitás; olykor: meghatározottsági axióma[1]) a halmazelméleti axiómarendszerek tipikus axiómája:
- Ha az x és az y halmaznak pontosan ugyanazok az elemei, akkor x és y ugyanaz a halmaz.
Általában úgy tartják, hogy ez az axióma fejezi ki a halmazfogalom lényegét: a halmazokat meghatározzák az elemeik.[2]
Változatok
- Az axiómát olykor a megfordításával együtt mondják ki:
- Az x és az y halmaznak akkor és csak akkor pontosan ugyanazok az elemei, ha x és y ugyanaz a halmaz.
- Ez a megfogalmazás azonban redundáns; a megfordítás ugyanis logikai igazság.
- A halmazelméleti axiómarendszereket olykor azonosságjel-mentes elsőrendű nyelven vezetik be. Ilyenkor az extenzionalitási axióma a halmazegyenlőség definíciójává válik (a megfordításával együtt kimondott változatában).
- Atomos halmazelméletekben az axióma a következő, gyengébb formát veszi fel:
- ( rövidíti azt, hogy x halmaz.) A gyengítésre azért van szükség, hogy különbséget lehessen tenni az atomok között. Erre a változatra gyenge extenzionalitásként szoktak hivatkozni.
- Osztályrealista halmazelméletekben (például az NBG-ben) általában valódi osztályokra is kiterjesztik az axiómát.
- Andrzej Kisielewicz különös kétepszilonos halmazelméletének (double extension set theory) különféle változatai a következő formában mondják ki az extenzionalitási axiómát:
- (Itt és két különböző tartalmazási reláció.) [3] Ez az egyetlen ismert példa olyan halmazelméletre, amely lényegesen eltér a szokásos extenzionalitási axiómától.
Jegyzetek
Irodalom
- Hajnal András - Hamburger Péter: Halmazelmélet. Tankönyvkiadó, 1983.
- Thomas Jech: Set Theory: The Third Millennium Edition. Springer, 2003.
- Andrzej Kisielewicz: Double extension set theory. Reports on Mathematical Logic 23(1989).