Abszolút konvergencia

A matematikában egy végtelen számsor abszolút konvergens, ha tagjainak abszolútértékét véve véges lesz az összeg. Képlettel, $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ abszolút konvergens, ha van egy $\textstyle L$ valós szám, hogy $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L$. Ha egy sor konvergens, de nem abszolút konvergens, akkor feltételesen konvergens.

Hasonlóan, egy f függvény $\textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx$ improprius integrálja abszolút konvergens, ha az $\textstyle \int _{0}^{\infty }\left|f(x)\right|dx=L$ integrál konvergens.

Tanulmányozása azért fontos, mert egyrészt viszonylag gyakori, másrészt elég erős ahhoz, hogy olyan tulajdonságok is bizonyíthatók legyenek, amelyek más sorokra nem teljesülnek.

Háttere

Egy konvergens sor tagjai nemcsak valós vagy komplex számok lehetnek, hanem tetszőleges topologikus Abel-csoport elemei is. Az abszolút konvergencia ezen kívül megköveteli az abszolútérték általánosítását is, a normát. Itt a továbbiakban a csoportra additív jelölést használunk, így a G csoport egységeleme helyett nullelemről beszélünk, és 0-val jelöljük.

A normára teljesülnek a következők:

• G nullelemének normája 0: $\|0\|=0.$
• Minden x elemre $\|x\|=0$ implies $x=0.$
• Minden x elemre $\|-x\|=\|x\|.$
• Minden x, y elemre $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$

Ekkor G a $d(x,y)=\|x-y\|$ távolsággal metrikus tér, és ebben értelmezhető az abszolút konvergencia: $\sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty .$

Valós vagy kmplex számok esetén alkalmazható az abszolútérték, mint norma.

Kapcsolat a konvergenciával

Ha a fenti G teljes a fenti d metrikára, akkor az abszolút konvergens sorozatok konvergensek. Ezt általában is a komplex esethez hasonlóan lehet bizonyítani. A teljességből következik a Cauchy-konvergenciakritérium, és a háromszögegyenlőtlenséget kell alkalmazni.