„Uniform tér” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
kiegeszitesek |
nem szomszedsag, hanem kornyek |
||
2. sor: | 2. sor: | ||
==Definíció== |
==Definíció== |
||
=== |
===Környékekkel=== |
||
Egy uniform tér egy halmaz-párból áll, <math>(X, \Phi)</math>, ahol <math>X</math> a tér alaphalmaza, <math>\Phi\subseteq 2^{X\times X}</math> pedig a |
Egy uniform tér egy halmaz-párból áll, <math>(X, \Phi)</math>, ahol <math>X</math> a tér alaphalmaza, <math>\Phi\subseteq 2^{X\times X}</math> pedig a környékek (franciául ''entourage'') halmaza, a következő feltételekkel: |
||
# Minden <math>U\in\Phi</math> tartalmazza az átlót: <math>\{(x, x): x\in U\}</math> |
# Minden <math>U\in\Phi</math> tartalmazza az átlót: <math>\{(x, x): x\in U\}</math> |
||
15. sor: | 15. sor: | ||
==Kapcsolat más struktúrákkal== |
==Kapcsolat más struktúrákkal== |
||
Bármely <math>(X, \Phi)</math> metrikus térhez hozzárendelhető egy uniform struktúra oly módon, hogy egy <math>V\subseteq X\times X</math> pontosan akkor lesz |
Bármely <math>(X, \Phi)</math> metrikus térhez hozzárendelhető egy uniform struktúra oly módon, hogy egy <math>V\subseteq X\times X</math> pontosan akkor lesz környék, ha létezik egy <math>\varepsilon>0</math> valós szám, hogy minden <math>x</math>, <math>y</math> párra, ha <math>d(x, y)<\varepsilon</math>, akkor <math>(x, y)</math> benne van <math>V</math>-ben. |
||
Egy <math>G</math> topologikus csoport uniform struktúrája úgy definiálható, hogy egy <math>V</math> halmaz pontosan akkor legyen |
Egy <math>G</math> topologikus csoport uniform struktúrája úgy definiálható, hogy egy <math>V</math> halmaz pontosan akkor legyen környék, amennyiben létezik az [[egységelem]]nek egy <math>U</math> [[környezet (topológia)|környezet]]e, hogy <math>\{(x, y):x\cdot y^{-1}\in U\}</math> része <math>V</math>-nek. |
||
Minden uniform téren természetes módon értelmezhető egy topologikus struktúra, nevezetesen egy <math>G</math> halmaz pontosan akkor legyen [[nyílt]], ha bármely <math>x\in G</math>-hez létezik egy olyan <math>V</math> |
Minden uniform téren természetes módon értelmezhető egy topologikus struktúra, nevezetesen egy <math>G</math> halmaz pontosan akkor legyen [[nyílt]], ha bármely <math>x\in G</math>-hez létezik egy olyan <math>V</math> környék, hogy <math>V[x]</math> (<math>V</math>-nek <math>x</math>-szel vett szelete, azaz <math>\{y: (x, y)\in V\}</math>) része legyen <math>G</math>-nek. Két különböző uniform térnek lehet azonos a topologikus struktúrája. |
||
{{csonk-mat}} |
{{csonk-mat}} |
A lap 2007. február 27., 19:51-kori változata
Matematikában, azon belül a topológia területén használatos fogalom az uniform tér, ami az egyenletes tulajdonságokat (teljesség, egyenletes konvergencia, egyenletesen folytonos) igyekszik megragadni. Egy uniform tér nem más, mint egy uniform struktúrával felruházott halmaz. Erősebb, mint egy topologikus tér (minden uniform tér egyben topologikus tér is), de általánosabb, mint egy metrikus tér vagy egy topologikus csoport.
Definíció
Környékekkel
Egy uniform tér egy halmaz-párból áll, , ahol a tér alaphalmaza, pedig a környékek (franciául entourage) halmaza, a következő feltételekkel:
- Minden tartalmazza az átlót:
- Ha , és , akkor
- Ha , akkor
- Ha , akkor létezik egy eleme -nek, hogy valahányszor és , akkor
- Minden -hez annak „tükörképe”, is eleme -nek.
Uniform fedéssel
Kapcsolat más struktúrákkal
Bármely metrikus térhez hozzárendelhető egy uniform struktúra oly módon, hogy egy pontosan akkor lesz környék, ha létezik egy valós szám, hogy minden , párra, ha , akkor benne van -ben.
Egy topologikus csoport uniform struktúrája úgy definiálható, hogy egy halmaz pontosan akkor legyen környék, amennyiben létezik az egységelemnek egy környezete, hogy része -nek.
Minden uniform téren természetes módon értelmezhető egy topologikus struktúra, nevezetesen egy halmaz pontosan akkor legyen nyílt, ha bármely -hez létezik egy olyan környék, hogy (-nek -szel vett szelete, azaz ) része legyen -nek. Két különböző uniform térnek lehet azonos a topologikus struktúrája.