„Gauss–Lucas-tétel” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Kope (vitalap | szerkesztései) Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
2. sor: | 2. sor: | ||
==A tétel állítása== |
==A tétel állítása== |
||
Ha <math>P(z)</math> egy komplex együtthatós polinom, akkor <math>P'(z)</math> deriváltjának minden gyöke <math>P(z)</math> |
Ha <math>P(z)</math> egy komplex együtthatós polinom, akkor <math>P'(z)</math> deriváltjának minden gyöke <math>P(z)</math> gyökeinek konvex burkában van (a komplex számsíkon). |
||
==A tétel bizonyítása== |
==A tétel bizonyítása== |
A lap 2006. június 11., 14:40-kori változata
A Gauss–Lucas-tétel kapcsolatot teremt egy komplex együtthatós polinom gyökei és deriváltja gyökei között.
A tétel állítása
Ha egy komplex együtthatós polinom, akkor deriváltjának minden gyöke gyökeinek konvex burkában van (a komplex számsíkon).
A tétel bizonyítása
Legyen gyöktényezős felbontása
ahol a különböző gyökök multiplicitásai . Ekkor
Legyen s egy gyöke. Ha az gyökök valamelyike, az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel tehát, hogy nem közülük való. A fentiek szerint
A nevezőket konjugáltjaikkal megszorozva az adódik, hogy
ahol
Minden pozitív valós szám. Az baloldal tagjait konjugálva az adódik, hogy
.
Legyen . Ekkor azt kapjuk, hogy
Ha most bevezetjük a syámokat, akkor egyrészt
másrészt a -k nemnegatív valós számok amelyek összege 1, tehát valóban benne van az -k konvex burkában.