„Gauss–Lucas-tétel” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Kope (vitalap | szerkesztései) Nincs szerkesztési összefoglaló |
Kope (vitalap | szerkesztései) Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
23. sor: | 23. sor: | ||
<center><math>\sum p_j r_j=s</math></center> |
<center><math>\sum p_j r_j=s</math></center> |
||
másrészt a <math>p_j</math>-k nemnegatív valós számok amelyek összege 1, tehát <math>s</math> valóban benne van az <math>r_j</math>-k konvex burkában. |
másrészt a <math>p_j</math>-k nemnegatív valós számok amelyek összege 1, tehát <math>s</math> valóban benne van az <math>r_j</math>-k konvex burkában. |
||
[[Kategória:Matematikai tételek]] |
A lap 2006. május 24., 06:25-kori változata
A Gauss–Lucas-tétel kapcsolatot teremt egy komplex együtthatós polinom gyökei és deriváltja gyökei között.
A tétel állítása
Ha egy komplex együtthatós polinom, akkor deriváltjának minden gyöke gyökei konvex burkában van (a komplex számsíkon).
A tétel bizonyítása
Legyen gyöktényezős felbontása
ahol a különböző gyökök multiplicitásai . Ekkor
Legyen s egy gyöke. Ha az gyökök valamelyike, az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel tehát, hogy nem közülük való. A fentiek szerint
A nevezőket konjugáltjaikkal megszorozva az adódik, hogy
ahol
Minden pozitív valós szám. Az baloldal tagjait konjugálva az adódik, hogy
.
Legyen . Ekkor azt kapjuk, hogy
Ha most bevezetjük a syámokat, akkor egyrészt
másrészt a -k nemnegatív valós számok amelyek összege 1, tehát valóban benne van az -k konvex burkában.