Izogonális pont

Az izogonális pont megszerkesztése.

Az izogonális pont, Fermat-pont vagy Torricelli-pont a geometriában a az a pont, amit egy háromszög csúcsaival összekötve az összekötő szakaszok együttes hossza minimális. Fermat fedezte fel, aki feladványul adta Evangelista Torricellinek a pont megszerkesztését.

Az izogonális pont megyszerkesztése

Ha a háromszögnek nincs 120°-nál nagyobb szöge, az izogonális pont egyben az a pont, amiből a háromszög mindhárom oldala azonos szög alatt látszik. (Ha van, a hozzá tartozó csúcs lesz az izogonális pont.) Megszerkesztéséhez egy-egy szabályos háromszöget kell emelni a háromszög oldalaira, és az újonnan kapott csúcsokat összekötni az eredeti háromszög szemközti csúcsaival. A három egyenes az izogonális pontban metszi egymást. (Ugyanebben a pontban metszik egymást a szabályos háromszögek köréírt körei is; Torricelli ezt használta fel a megoldásához.)

Szerkesztés bizonyítása

Ábra a bizonyításhoz.

A bizonyítás megmutatja, hogy a három egyenes egy ponton halad át.

Legyen F az RC és BQ egyenesek metszéspontja. Azt akarjuk megmutatni, hogy az AFP görbe egyenes.

Mivel AR=AB és AC=AQ,

$\angle RAC=\angle RAB+\angle BAC$

$\angle BAQ=\angle BAC+\angle CAQ$.

Továbbá, mivel $\angle RAB$ és $\angle CAQ=60$º, amik belső szögei a szabályos háromszögeknek, $\angle RAC=\angle BAQ$. Ebből következik, hogy RAC és BAQ háromszögek egybevágóak. Vagyis $\angle ARF=\angle ABF$ és $\angle AQF=\angle ACF$. Tehát ARBF és AQCF húrnégyszög. Mivel húrnégyszögek, $\angle AFB=\angle AFC=\angle BFC=120$º. BFCP szintén húrnégyszög, hiszen $\angle BFC+\angle BPC=180$º. Ennélfogva $\angle BFP=\angle BCP=60$º. Tehát $\angle AFP=\angle AFB+\angle BFP=180$º.