„Peano-aritmetika” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Syp (vitalap | szerkesztései) iw |
Ha egy természetes számoz hozzáadjuk egy másik természetes szám rákövetkezőjét, akkor... a két szám rákövetkezőjének összegét kapjuk -> a két szám összegének a rákövetkezőjét kapjuk |
||
20. sor: | 20. sor: | ||
# Minden nem nulla természetes szám valamelyik másik természetes szám rákövetkezője: <center><math>\forall x (x\neq0 \Rightarrow \exists y S(y)=x) </math> </center> |
# Minden nem nulla természetes szám valamelyik másik természetes szám rákövetkezője: <center><math>\forall x (x\neq0 \Rightarrow \exists y S(y)=x) </math> </center> |
||
# A nulla hozzádása nem változtat a természetes számokon: <center><math>\forall x \quad x+0=x</math></center> |
# A nulla hozzádása nem változtat a természetes számokon: <center><math>\forall x \quad x+0=x</math></center> |
||
# Ha egy természetes számoz hozzáadjuk egy másik természetes szám rákövetkezőjét, akkor a két szám |
# Ha egy természetes számoz hozzáadjuk egy másik természetes szám rákövetkezőjét, akkor a két szám összegének a rákövetkezőjét kapjuk:<center><math>\forall x\,\forall y \quad x+S(y)=S(x+y)</math> </center> |
||
# Tetszőleges természetes számot nullával szorozva nullát kapunk: <center><math>\forall x \quad x\cdot 0=0</math> </center> |
# Tetszőleges természetes számot nullával szorozva nullát kapunk: <center><math>\forall x \quad x\cdot 0=0</math> </center> |
||
# Teteszőleges <math>x\,</math> természetes számot egy másik <math>y\,</math>természetes szám rákövetkezőjéval szorozva <math>x\cdot y+x</math>-et kapunk:<center><math>\forall x\, \forall y \quad x\cdot S(y)=x\cdot y+x</math> </center> |
# Teteszőleges <math>x\,</math> természetes számot egy másik <math>y\,</math>természetes szám rákövetkezőjéval szorozva <math>x\cdot y+x</math>-et kapunk:<center><math>\forall x\, \forall y \quad x\cdot S(y)=x\cdot y+x</math> </center> |
A lap 2007. június 10., 20:54-kori változata
Peano-aritmetika
A Peano-aritmetika a természetes számok egy elsőrendű (axiomatikus) elmélete, melyet Giuseppe Peano olasz matematikus 1889-ben vezetett be. jel: PA
Peano-féle elsőrendű nyelv
A Peano-aritmetika nyelve a következő nem logikai jeleket tartalmazza:
- A nulla konstans jele:
- A rákövetkezés 1-változós műveleti jele:
- Az összeadás 2-változós műveleti jele:
- A szorzás 2-változós műveleti jele:
Ezen a nyelven felírt elsőrendű formulákat nevezzük Peano-fomuláknak.
Peano-féle axiómák
- A nulla senkinek sem a rákövetkezője.
- Ha két természetes szám rákövetkezője megegyezik, akkor a két szám is megegyezik:
- Minden nem nulla természetes szám valamelyik másik természetes szám rákövetkezője:
- A nulla hozzádása nem változtat a természetes számokon:
- Ha egy természetes számoz hozzáadjuk egy másik természetes szám rákövetkezőjét, akkor a két szám összegének a rákövetkezőjét kapjuk:
- Tetszőleges természetes számot nullával szorozva nullát kapunk:
- Teteszőleges természetes számot egy másik természetes szám rákövetkezőjéval szorozva -et kapunk:
- (A teljes indukció axióma sémája) Tetszőleges Peano-formulára, ha igaz -ra és ha igaz -ra, akkor igaz -ra is, akkor igaz minden természetes számra: