Riemann-féle kszi függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
A Riemann-féle kszi függvény a komplex síkon. Az pont színe függvény értékét jelöli. A sötétebb színek a nullához közelebbi (kisebb abszolútértékű) értékeket jelentik. A színárnyalat az argumentumszöget jelzi.

A matematikában a Riemann-féle kszi függvény a Riemann-féle zéta-függvény egy változata, és egyszerű függvényegyenlettel definiálható. Bernhard Riemann után nevezték el.

Definíciója[szerkesztés]

Riemann a ξ betűt használta, ezt Landau változtatta nagybetűsre (Ξ). Landua ξ-függvényének definíciója:[1]

ahol . Ahol ζ(s) a Riemann-féle zéta-függvényt jelöli, és Γ(s) a gammafüggvény. A függvényegyenlet, avagy tükrözési képlet:

A nagybetűs Ξ függvényt Landau úgy definiálta, mint:[2]

és ez a fenti függvényegyenletnek is eleget tesz:

Landau szerint (loc. cit., p. 894) ez a Riemann által ξ-nek nevezett függvény. Mindkét függvény valós számokhoz valós értékeket rendelnek. A Riemann-sejtés ekvivalens azzal, hogy Ξ minden nullhelye valós. A zavaros jelölés oka Riemann egy nyilvánvaló hibája, aminek azonban nincs semmi következménye a cikken belül.[3]

Értékek[szerkesztés]

Páros egészekre az általános képlet:

ahol Bn az n-edik Bernoulli-szám. Például:

További speciális értékek:

(Minimum im reellwertigen Definitionsbereich, (A114720 sorozat az OEIS-ben))

Sorfejtés[szerkesztés]

A -függvény sorfejtése

ahol

ahol a ρ indexek a zéta-függvény nem triviális nullhelyei, szerint növekvő sorrendben.

Ennek a sorfejtésnek fontos szerep jut a Li-kritériumban, ami azt állítja, hogy a Riemann-hipotézis ekvivalens azzal, hogy λn > 0 minden pozitív n esetén.

Hadamard-szorzat[szerkesztés]

Egy egyszerű végtelen szorzat alakban adott kifejtés

ahol ρ a ξ gyökeit futja be.

A konvergencia biztosítása érdekében a nullhelyeket párokba kell állítani, ahol a párok tagjai ρ és 1−ρ.

Kapcsolat a Riemann–Siegel-féle Z-függvénnyel[szerkesztés]

A Riemann–Siegel-féle Z-függvény kifejezhető a Riemann-féle kszi függvénnyel:[4]

Aszimptotikus viselkedés[szerkesztés]

Valós s értékekre[5]

továbbá

ahol a Landau-szimbólum. Ennek megfelelően t valós értékeire[6]

Li-együtthatók[szerkesztés]

A kszi-függvény kapcsolódik a Li-együtthatókhoz:

mivel teljesülnek a következők:[7]

és

A Li-kritérium a tulajdonság minden pozitív esetén.. Ez ekvivalens a Riemann-sejtéssel.

Források[szerkesztés]

  • Weisstein, Eric W.: Xi-Function (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  • (1992) „Power series expansions of Riemann's xi function”. Mathematics of Computation 58 (198), 765–773. o. DOI:10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5.  
  • H. M. Edwards: Riemann’s Zeta Function. Mineola, NY: Dover Publications. 2001. ISBN 0-486-41740-9  
  • J. C. Lagarias (2004). „Li coefficients for automorphic L-functions”. Mathematics.  
  • B. Riemann (1859). „Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe”. Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin.  
  • Edward Charles Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition. (hely nélkül): Oxford University Press. 1986. ISBN 0-19-853369-1  

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909. Third edition Chelsea, New York, 1974, §70.
  2. Landau (loc. cit., §71)
  3. Edwards (2001), Fußnote §1.16 (S. 31)
  4. Titchmarsh (1986) §4.17 (S. 89)
  5. Titchmarsh (1986) §2.12 (S. 29)
  6. Titchmarsh (1986) §5.1 (S. 96) & §10.2 (S. 257)
  7. Lagarias (2004)

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Riemann Xi function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Riemannsche Xi-Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.