Jacobi-módszer

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A Jacobi-módszer (vagy Jacobi-féle sajátértékmódszer) néven ismert eljárás egy iteratív módszer, amely kis méretű (n<10) szimmetrikus valós mátrixok sajátértékeinek és sajátvektorainak a meghatározására használható. Ezen módszer célja a mátrix főátlón kívüli elemeinek iteratív eljárással történő kinullázása. A Jacobi-módszer esetén az iterációs lépéseket addig ismételjük, míg egy általunk meghatározott pontosságig az ismeretleneket meg nem határozzuk. Ez azt fogja jelenteni, hogy akkor állunk meg a lépesekkel, mikor már két egymás utáni lépésben kapott ismeretlen értékek különbsége kisebb egy általunk meghatározott értéknél. A Jacobi-módszer esetében az iterációs képlet a következő lesz:

Ahhoz, hogy könnyebben megérthessük a módszer elvét, tekintsünk egy példát:

Hogy jobban áttekinthető legyen, átírhatjuk egyenletek formájába, amely így nézhet ki:

Innen kifejezhető az x1 és x2 ismeretlen, így a következő egyenleteket kapjuk:

,

Az így kapott egyenletrendszert úgy oldhatjuk meg, hogy kezdetben kiindulunk az , illetve az legjobb becslésünkből, vagy az egyszerűség kedvéért indulhatunk 0-ból is. Ezután felhasználva az

,

lépéseket, eljuthatunk egy jobb közelítő értékig. Ezt addig alkalmazzuk, amíg az ismeretleneket tetszőleges pontossággal meg nem határozzuk.

Források[szerkesztés]

  • Lázár Zsolt, Lázár József, Járai-Szabó Ferenc: Numerikus módszerek, egyetemi jegyzet, 2008
  • Digitális tankönyvtár/Természettudományok/Matematika/Numerikus módszerek 1./Jacobi-módszer