Gömbtükör

Gömbtükör a Millennium téren, Bristolban. Adrian Pingstone készítette 2004 júniusában

Gömbtükörnek nevezzük azon tükröző felületeket, amelyek gömbsüveg vagy gömböv alakúak. Gömbtükrökkel az élet több területén is találkozhatunk, a világítótestektől a bűvésztrükkökön át a csillagászatig. Nagy előnyük, hogy lencseszerű hatás mellett a lencsék tipikus hibáival (kromatikus aberráció, fókuszív) nem rendelkeznek.

A gömbtükrök jellemzése

Attól függően, hogy a gömbfelület melyik oldala tükröző tulajdonságú, megkülönböztetünk domború és homorú tükröket. Ha a tükröző felület a pozitív görbületű oldalon van, akkor domború, ha a negatív görbületűn, akkor homorú tükörről beszélünk.

Annak a gömbnek a középpontja, ami illeszkedik a tükörre, a tükör geometriai középpontja. A tükörfelület középpontja a tükör optikai középpontja. A két középpont együtt a tükör optikai tengelyét határozza meg. Ezen túl a tükör nyílásszöge lényeges számunkra, ami a tükör éle és a geometriai középpont által meghatározott kúp szöge.

Az optikai tengelyen a harmadik jellegzetes pont a fókusz, ahol a párhuzamos fénysugarak visszaverődés után találkoznak. Vegyünk fel egy tetszőleges, az a optikai tengellyel párhuzamos l fénysugarat. Ez a tükröt az A pontban éri el, és itt verődik vissza. A tükör geometriai középpontja a G pont, tehát az AG szakasz a gömb sugara.

$lAG\angle =AGa\angle ,$

ennek oka, hogy párhuzamos szárú szögek. Ha a visszavert fénysugár az F pontban metszi az optikai tengelyt, akkor Fermat elve miatt

$FAG\angle =FGA\angle ,$

tehát az FAG háromszög egyenlőszárú háromszög, FA=FG. Az egyenlőszárú háromszögekre vonatkozó tétel szerint

$AG=2FG\cos FGA\angle \approx 2FG,$

ha a tükör nyílásszöge kicsi. Mivel AG a tükör geometriai sugara, ezért a fókuszpont távolsága ettől éppen r/2, azaz a fókuszpont felezi a gömb sugarát.

Nagy nyílásszögű (α>5°) esetén a fénysugarak a tengelytől való távolságuk függvényében metszik az optikai tengelyt, ezt nevezzük szférikus hibának. Emiatt általában nagy sugarú tükröket alkalmaznak.

Képalkotás

A gömbtükrök esetében a képalkotásra vonatkozó egyenlet:

${\frac {1}{t}}+{\frac {1}{k}}={\frac {1}{f}}$

Itt $t$ a tárgy fókusztól mért távolsága, $k$ a képé, $f$ pedig a fókusztávolság. Ennek belátására vegyük az alábbi ábrát:

Az A pontból induló fénysugár a a tükörről a B ponban verődik vissza, majd az f optikai tengelyt az A' pontban metszi. Az ábra szerint β=α+Θ, mivel külsö szög, és hasonlóan γ=β+Θ. Ebből adódik, hogy α+γ=2β. Ha a tükör szögnyílása kicsi, akkor az OB ív közelíthető az OB húrral, valamint sinα≈α. Ebből felírhatóak a szögek:

$\left.{\begin{aligned}\alpha &={\frac {OB}{OA}}\\\beta &={\frac {OB}{OC}}\\\gamma &={\frac {OB}{OA'}}\end{aligned}}\right\}\Rightarrow {\frac {OB}{OA}}+{\frac {OB}{OA'}}=2{\frac {OB}{OC}}$

Mivel OA=t, Oc=2f és OA'=k, kapjuk a leképezési törvényt.

A törvény alapján tárgyalhatjuk a gömbtükrök képalkotását. Ehhez a képtávolságot kifejezzük a tárgytávolság függvényében:

$k={\frac {f}{t-f}}$

t > R

A kép a fókuszpont közelében keletkezik, kicsinyített és fordított állású.

t = R

A kép a gömbi középpontban keletkezik, egybevágó és fordított állású.

R > t > f

A kép a gömbi középponton túl keletkezik, nagyított és fordított állású. Ez a t>R eset inverze, megkapható, ha a tárgyat és a képet megcseréljük. Ez indokolja, hogy miért használnak nagy sugarú gömböket sok területen.

t = f

Kép nincs, a fénysugarak visszaverődés után a tengellyel párhuzamosak (paraxiálisok) lesznek.

f > t ≥ 0

A kép virtuális, a fénysugarak széttartóan verődnek vissza. A metszéspontjuk az optikai tengely negatív oldalán („a tükör mögött“) metsziuk egymást. A kép nagyított.

t < 0

A kép kicsinyített, virtuális. Ez az előző eset inverze, és egyben megfelel a domború tükörnek.

Alkalmazások

• Orvosi tükrök
• Teleszkópokban egyes lencséket helyettesíthet.
• Gépjárművek tükrei

Források

• Litz József, Erostyák János. Fizika, III. Nemzeti tankönyvkiadó (2006). ISBN 9789631955774 
• Gulyás János, Rácz Mihály, Tomcsányi Péter, VArga Antal. Fizika - Ennyit kell(ene) tudnod. Panem-Akkord (1994). ISBN 963-545-258-6