Euklideszi axiómák

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Az euklideszi axiómákat[1] és posztulátumokat Eukleidész ókori matematikus fogalmazta meg Elemek című művében.

Axiómák vagy „közismert fogalmak”[szerkesztés]

  1. Ugyanazon dologgal egyenlő dolgok egymással is egyenlők.
  2. Ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk hozzá, akkor egyenlőket kapunk.
  3. Ha egyenlőkből egyenlőket vonunk ki, akkor a maradékok is egyenlők.
  4. Ha nem egyenlőkhöz egyenlőket adunk hozzá, akkor nem egyenlőket kapunk.
  5. Ugyanazon dolog kétszeresei egyenlők egymással.
  6. Ugyanazon dolog felerészei egyenlők egymással.
  7. Egymásra illeszthető dolgok egymással egyenlők.
  8. Az egész nagyobb, mint a része.
  9. Két egyenes nem fog közre területet.

Posztulátumok vagy „követelmények"[szerkesztés]

Követeljük meg, hogy:

  1. bármely pontból bármely pontba lehessen egyenes vonalat húzni.
  2. véges egyenes vonalat folytonosan egyenes vonallá lehessen hosszabbítani.
  3. bármely középponttal és sugárral kört lehessen rajzolni.
  4. bármely két derékszög egyenlő legyen egymással.
  5. ha egy egyenes úgy metsz két másikat, hogy az egyoldalon fekvő belső szögek összege két derékszögnél kisebb, akkor a két másik egyenes találkozzon egymással, ha végtelenül meghosszabbítjuk őket, éspedig azon az oldalon, ahol a szögek összege kisebb két derékszögnél.

Megjegyzések[szerkesztés]

  • A modern axiomatika nem tesz különbséget a posztulátumok és axiómák között, s a definíciókat nem tekintjük az axiómarendszer alkotóelemeinek.
  • Az első posztulátum nem teljes, és már az ókorban így módosították: Követeljük meg, hogy két pont között egy és csak egy egyenes legyen húzható.
  • Az ötödik posztulátum a híres párhuzamossági posztulátum, aminek a vizsgálatából fejlődött ki a nemeuklideszi geometria.
  • Euklidész könyvében a tételek bizonyítása, feladatok megoldása közben felhasznál olyan tulajdonságokat, melyek nem szerepelnek a premisszák között és azokból nem következnek. Ugyanakkor definiál alakzatokat, melyekről később nem esik szó. Ezek a hibák eltörpülnek a párhuzamosság problémája mellett, de nem hanyagolhatók el a precíz tárgyalásban. Mivel az axiómarendszer megreformálására kétezer év sem volt elég, komoly kutatásokra és az említett elvek tisztázására volt szükség. A teljes matematikai precizitásnak eleget tevő axiómarendszereket csak a XIX. század végén sikerült megalkotni. A Grundlagen der Geometrie-ben (1899) Hilbert által közölt axiómarendszert tekintik az első igényes megfogalmazásnak.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. A matematikus nevének szabatos átírása Eukleidész volna, tehát a szerkezet eukleidészi axiómák, de ebben a kifejezésben hagyományosan rögzült euklideszi alakban (lásd például Püthagorasz, de Pitagorasz-tétel stb.).

Források[szerkesztés]