Szerkesztő:Tempus~huwiki/Készülő szócikkem

A Bolyaiak

A matematika - minden tudományok óhajtott segédeszköze - egykorú az emberiség legrégibb szellemi megnyilatkozásaival. Az abszolút igazságra törő emberi szellem kezdettől fogva érezte, hogy ez az az út, mellyen biztosan haladhatunk az igazság keresésében. Ez az az út amely axiómákkal, és posztulátumokkal van kikövezve. Ezen axiómák alapigazságok, melyek első pillanatra világosak nekünk. Hasonlóan a posztulátumok oly igazságokat fejeznek ki, amelyeknek igaz voltát föl kell vetnünk, mivel az ellenkezőjük, vagy azok következménye ellenkezik a tapasztalattal.

Ilyen egyszerű alapokból kiindulva épül fel a matematika tudománya. A mérés össehasonlítás egyneműek között.Ilyen egynemű valami lehet akármi a természetben, pl:idő , tér, hosszúság, s.t.b. A természetben vannak álandó, és változó mennyiségek.Állandó pl:a fénysebesség, egy jól meghatározott közegben. Változó pl:a szabadon eső test sebesége.Ezek komplikált kapcsolata, egymástól való függése vezet a függvény fogalmához.A matematika algebrailag létesít ilyen viszonyokat, és vizsgálja azok természetét. Az itt adódó kérdések szerint keletkeznek a felsőbb mathesis, (ti:matematika) főbb ágai, mint a differenciális és integrális számítás differenciális egyenletek elmélete, a külömböző függvények tana s.t.b.

A matematika másik ága a geometria, amely a tér tudománya, és mint ilyen, tapasztalati tudomány: anélkül azonban, hogy bármit is veszítene a szigorúságából. Erről kezeskednek az alapjául szolgáló axiómák. Nagy előnye a szemléltethetőség, melyet már a görögök is használtak. A matematika kettős szerepet alakít a tudományokban. Hiszen játsza a maga tudományának főszerepét, a többi tudományban azonban csak segéd eszköz, s mint ilyen, alkalmazott tudomány. A matematika óriási épületének megalapozása és szigorú fölépítése nem könnyű feladat.A legmélyebben gondolkodó lángelmék adták időnként koruknak ilyen matematikai öszefoglalását.De voltak és vannak pontok amelyeket még ezek a lángelmék sem tudtak kielégítő módon megvilágítani. Egy ilyen pont volt éppen Euklidész XI.posztulátuma.

Tentamen

A matematikának két ilye alapozója volt a két Bolyai.Az idősebb Bolyai ( Farkas ) a Tentamenben foglalta össze kora matematikai ismeretét ,a lehető legmélyebb filozófiai áttekintéssel. Brassai szerint a Tentamen nem encyklopédiája , hanem kódexe az elméleti matematikának.( ezt Brassai Bolyai búcsúztatásán mondta ).Egy ilyen sötét pontot világított meg az ifjabb Bolyai, a Tentamen Appendixben közölt értekezésével.A sötét pontból bámulatos fényforrás lett,amely a geometria régi mezőihez újakat csatolt.Ezen új mezők szélén áll Bolyai János immár megdicsőült alakja.

Bolyai Farkas

1775. február 9.-én született Bolyán,régi középnemesi családban. Atyja Gáspár, anyja Vajna Krisztina. A hat és fél éves Farkast atyja a nagyenyedi kollégiumba íratja tanulni. De korán megmutatkozó zsenije nem talál megértést, méltánylást pedig még kevésbé. Játszani nem szeret, de latinul hamar megtanul és verseket rögtönöz ezen a nyelven. Tanárai mindjárt tudóst akarnak belőle faragni, s ez az amit később fia- János-, apja gyilkolásának nevez. 12-13 évesen kerül báró Kemény Simon mellé tanuló társnak. Házi tanítójuk Herepi Ádám, később Kolozsváron Szathmári Papp Mihály. Ebben a korban az elme kapkodása jellemzi a kiforratlan lángészt. Minden érdekes dolog iránt érdeklődik, csapong a képzelete. Ez a kapkodás , mely minden lángelmét jellemez fiatal korában. A matematika iránti vonzalma ellenére teológiát hallgat. De az a lélek , amely egy egész életen át nem tudott kibékülni a XI.euklidészi posztulátummal, amely nem tűrt homályt a matematikai kérdésekben ,a teológiából hamar kijózanodik. 1796-ban fölindulnak Kemény báróval a jénai egyetemre. Bécsben tüzérnek akar felesküdni, de a báró levelében lebeszéli. Bolyai később ,Jéna után Göttingenbe ér , ahol metematikát és fizikát tanul. Itt ér Bolyai éltének új epochájába: találkozik Gaussal.

Kapcsolata Gaussal.

Hogy kicsoda Gauss? Ma a matematikusok "princeps mathematicorum " névvel illetik: koronája a hallhatatlanság, amelynek drágakövei minden idők lángelméinek feléje forduló bámulata és hódolata. S hogy ki volt Bolyai korában? 17 évesen szerzője egy az égitestek mozgását tárgyaló értekezésnek, majd felfedezi a kör osztás elméletét. De ami Bolyaira fontos : az az ifjúi lélek, amely hivatva volt az üresen álló principátusi széket elfoglalni. Az az ifjúi lélek amely így szól Bolyaihoz : " Sie sind ein Genie,sie sind mein freund ".Mintegy törvényszerűen hat a mondat: a zsenik barátok.És ők barátok maradtak holtukig.Gauss vallomása szerint Farkas volt az egyetlen, aki metafizikai eszméit megértette. Bolyai már ekkor járatos a geometriában, és -mint később is - a matematika alapjaival foglalkozik. Gauss -mint Bolyai írja- a felsőbb régiókban már kolosszus , de Bolyaitól sokat tanul. A tudomány mély szeretete össze kötötte lelküket , féltékenység, eltérő érdekek nem zavarták kapcsolatukat. Egy évig voltak Göttingenben együtt. Bolyai, Gauss távozása után, még mint Kemény Simon kezese , ott marad. A sok nélkülözés ellenére, ez életének legboldogabb korszaka. Mert rájön lelkének, és tudásának éledező erejére, és nagyon jól érezte magát barátai társaságában. Együtt éheztek, lelkesedtek, és ami a legfőbb : dolgoztak. A gyalog haza induló Bolyait a szomszéd faluig kísérik, és könnyek között mondanak búcsút neki. Gaussal a megeggyezés szerint egy faluban találkoznak búcsúzóul. Aztán a fölkelő Nap nyugatra ment, míg a Hold a Nap álltal világítva keletre.

Farkas hazatér

Kolozsváron nevelői állást vállal. Vig társak között gyorsan , és boldogan telnek a napok, mert a matematika múzsájának szentelheti idejét. Egy táncmulatságon megismeri a kolozsvári chirurgus , B. József leányát , Benkő Zsuzsannát. S bár többször hirdette hogy az Ő szive fel van vértezve Ámor nyilai ellen, elfeledve mindent-matematikát, Múzsát-, feleségül veszi Zsuzsannát. A mi szerencsénkre. A leány "finom lelkű , vonzó , zenében kifogástalan izlésű , és kellemesen énekel kottából ". Bár Bolyai nem mint szerelmes írta e szavakat, de felesége lenyűgöző mentalitása , humora rabul ejtette. Mikor megnősült ,domáldi birtokára vonult , s mi gazdálkodásból megmaradt ideje , azt a matematikának szenteli. " Én nőül vettem Őt, s remélem nemsokára boldog apa leszek: boldog házasember vagyok , de azért ne indulj el az én példámon: ne bizzál a leányokban." irja Gaussnak. 1802.december 15.-én megszületik fia , János.Mivel Farkas nem volt a praktikus élet híve , anyagi gondok jelentkeztek nála. Ezért 1804-ben elfogadja a meghívást a marosvásárhelyi kollégiumba , a matematika , fizika , és kémia tanszékre. 47 évig maradt ezen állásban , egészen nyugalomba vonulásáig ( 1851 ). Tudományos munkáin is dolgozott , de folytonos nehézségekkel. Nem jutott könyvekhez. Gausstól folyton jó matematika könyvek címeit kéri.Anyagi zavara nem csökken. A városból nem tudja birtokát ellenőrizni , cselédei elharácsolják a birtok jövedelmét. Nagyon jó szivű , sokszor ezt is kihasználják. Kemence rakó szenvedélye is sokba kerül. János születésekor hosszabb ideig Kolozsváron tartózkodnak, itt mélyül el az ellentét közte és felesége között. Hiába írja Gauss -aki ekkor élte boldog házasságának első perceit- hogy béküljön ki feleségével ,az egyszer létre jött szakadást már nem lehettett megállítani. Bedőházy szerint oka lehettett a szakításnak , hogy a máshol megélt sérelmeket Bolyai otthon próbálta feldolgozni , de felesége nem rendelkezett Bolyaiéhoz méltó intellektussal , hogy férjének szellemi vigasztalója lehetett volna. Nem tudott férjének lelki támogatója lenni , és gazdaság gondjait sem tudta Farkas válláról levenni. Ha ezt elérte volna , Bolyai munkásságára igen jótékony hatással lett volna. Értő társaság hiányában Gaussnak küldi meg a "Theoria parallelarum "című értekezését , melyben, mint írja Gaussnak: " én nem tudok hibát fölfedezni". Nem bízik a kétezer éves probléma megoldásában , és kéri Gausst hogy ha érdemesnek tartja küldje el egy megfelelő Akadémiára. "És külömben is itt meg vagyok verve mindenféle fétudóssal , és nem adnám még ki a kezemből , ha nem vágynék egy kis külső dicsőséget hazardírozni"S e pár sorban benne van Bolyai egész tragédiája. És a mi tragédiánk is.A sziklán egyetlen mag sem kel ki: a zseninek is környezet kell hogy alkothasson. Már ekkor tervezi az arithmetika és geometria alapjairól szóló munkáját , de azokkal csak később készülhet el a Tentamenben. Teremtésre hívatott lelke szeretne ifjúkori álmaiból ezt azt megvalósítani. Drámát ír , majd ezeket az Erdélyi Múzeum pályázatára elküldi , mintegy kipróbálnia magát. Türelmetlen, ezért újabb írásait név nélkül jelenteti meg. Ezek jövedelméből alapítványt tesz a város szegényei számára. Nagy gyönyörűsége telt a drámák megírásában. Ott teljesen kiélhette szive minden örömét , viharzó fantáziájának minden vágyát , képzeletét.Bolyai csak azt fogadta el , ha valaki teljesen átérzi cselekedeteit , és a végletekig tökélyre törekszik. Brassai szerint az akkori olvasói hamarabb elfogadták , értették, és megszerették Bolyai írásait , mint a korabeli kritikusai. Tartalmi erősségét mindenki méltányolta , de irodalmi jellemzőit túlzottan metaforikusnak , dialógusait " virágnyelvűnek" itélték. Mindeközben feleségénél idegi problémák léptek fel , melye Bolyai lelkiismeretesen igyekezett ápolni. Halálos ágyánál is ott van , és felesége utolsó tiszta pillanataiban kibékülnek.Az asszony mielőtt végleg elmegy , megfogja Bolyai kezét : " Ne sírj ,! higgy nekem boldogabbul találkozunk" . Az elválás megrázó pillanatai soká ott lebegnek az élő előtt. Bolyai akkor esik el a kereszt alatt , mikor az levétetett róla. "Bár csak egy napot szenvedhetnék még tőle! Bár csak egy órát adna még a gazdag , fösvény örökkévalóság , melyen megmondhatnám hogy vagyok , s adhatnám neki még egyszer azt a jobb kezet , mely a szíveinket az örökké valóság szélén össze fogta. Ezek a leg őszintébb szavak , hisz a saját fájdalmát adta a papirosnak Bolyai. Négy év múlva nősül újra, és veszi el Nagy Theresát kitől egy fia , Gergő születik. Nem rendelkezik apjának szellemiségével de szerető , jó fia apjának.Nyolc év múlva újra megözvegyül.

Bolyai munkássága

Bolyai kezében a geometria szinte természettudomány. Gaussnak és más nagyoknak is az a véleménye , -ellentétben Kant felfogásával- hogy a tér nem csak a szemlélődés formája, hanem önmagában létező. Bolyai a szemléletből indul ki. A testtől elvonás útján jutunk az űr fogalmára. Ebből származtatja ő a mozgás segítségével a többi geometriai képződményeket. Először a mozgással adja a kongruencia fogalmát , amelyet Euklidész is így tárgyal , mivel éppen arról szól, hogy két különváltan lévő test ugyanazon helyre víve , ha pontról pontra megegyeznek , akkor kongruenseknek hívjuk őket. Bolyainak e tárgyalásai le voltak írva a Tentamenben. Itthon közömbösen fogadták gondolatait , ám elégtétel volt számára , hogy külföldön , igaz Bolyai kiadványai után, Reimann és Helmholtz számításai igazolták őt. A Tentament másik része az aritmetikával foglalkozik.Amíg a geometriában fogalmainkat a térben tudjuk elképzelni , az aritmetika oly mennyiségekkel foglalkozik melyeknek tulajdonságai egyeznek az idővel , mint mennyiséggel. Ezért az aritmetikát idői mennyiség tannak nevezi. Az ő szavaival élve Id tannak . Szigorúan külömbséget tesz az abszolút és relatív egyenlőség között.maga szerkesztette jeleket vezet be , és a már meglevőket módosítja elképzelései szerint. Bevezeti a pozitív és negatív számok viselkedésének lényegét. Differenciál számításban ki akarja küszöbölni a végtelen kicsinyek fogalmát , mint nem élesen definiált dolgokat.Így mutatja ki az első differenciális hányados létezését véges differenciákra.A magasabb deriváltakra a módszer nem jó. Bolyai célja hogy az oktatásban , az alapoktól a lehető legegyszerűbben , szoros összefüggéseiben vezesse a diákokat a matematika legmagasabb szféráiba. Ennek ellenére kevés méltánylást kapott. A tanárok nem értették , a diákok nehezen barátkoztak vele.A száraz matematika riasztja a tanulót , mert tény hogy sok a formai számításnak nem vesszük hasznát az életben , de a mély és szigorú látásmódnak igen. Ez volna a közép iskola célja , és azok a tanárok akik Bolyit értik nagy hasznára volnának az oktatásnak , főleg ha betartják Bolyai intelmét:az okos nevelő a természet fejlődését szemérmes tisztelettel szemléli.

A Tentamen megjelenése

A Tentamen megjelenése nehezen ment. De a költségek összejöttek - Bögözi Jakab Lajos 500 Rhforintot ad , fia 104-et , és három évi vajúdás után , 1832-ben megjelenik a nagy mű első kötete , 1834-ben a második. Az első kötethez hozzá adja fia munkáját az absolutus geometriáról. Ez az Appendix amely a világ figyelmét a Bolyaiakra irányítja. Bolyai kész lett volna munkáját magyarul is az akadémia rendelkezésére bocsájtani , feleletre sem méltatták. Így 1843-ban saját költségén adta ki az Arithmetika elejét átdolgozva. Az Akaémia mindamellett igyekezett méltányolni őt , és tagjai sorába választotta. 1853-ban a Tentamen rövid kivonatát kiaadja németül is "Kurzer Grundriss "...cimmel. A tanítás nem ment oly könnyen , mint azt remélni szerette volna. Meggyőződése volt hogy minden diák azzal az intellektussal rendelkezik mint fia János. Az oktatás során nem világította meg a kezdeti matematikai összefüggéseket a későbbi bonyolult számításokhoz , mivel számára evidencia volt ezek léte. De még ha keveset is értettek abból amit mondott , Bolyaitól sok nyereséget kaptak. Meghatotta őket az a lelkesedés ahogy Bolyai a matematikáról beszélt. Mert mégsem lehet közönséges dolog az amiért így lehet lelkesedni. És nem mellékesen megtanulták a tudományokat tisztelni és becsülni.

János

A Tentamen mejelenésének idejére esik János munkássága is. 1822-ben végezte a bécsi akadémiát , majd tényleges szolgálatba lépett. Már az akadémián foglalkozott a paralellák elméletével, és 1823-ban a következőket írja atyjának:" E pillanatban nints kitalálva, de az út, melyen mentem bizonyosan igérte a cél elérését: nincs meg de olyan felséges dolgokat hoztam ki hogy magam is elámultam". Két év múlva ,Marosvásárhelyen ,már a kész rendszerét közli apjával.Miután megbeszélik a közlés módozatait, igyekeznek mielőbb kiadni, nehogy valaki megelőzze őket.Először az Appendix függelékeként jelenik meg 1832-ben. Farkas ezt a kötetet megküldi Gaussnak , mondván fia mindenkinél többre tartja az ő itéletét. Gauss örömmel és meglepve olvassa a munkát, és rögtön válaszol. Egyszerűen és őszintén válaszol, és kifejti hogy ő már gondolkodott ezeken a dolgokon de nem vetette papirra őket.Jánost elsőrangú zseninek tartja, de mindjárt felhívja a figyelmét bizonyos problémákra.

A meg nem értett talentum

Gauss levele Jánosnál nagy elkeseredést szül. Talán a matematika nyersességével megirt levél nem elégítette ki az elismerésre vágyó fiatal zseni lelkét, mivel érezte hogy amit megalkotott az bizony többet érdemel egyszerű szavaknál. Érthető hogy félti a munkája prioritását , és nem azt várta volna hogy egy Gauss féltékeny lehet reá , és művére. Bár Gaussnak voltak gondolatai ez irányba , melyet levélben érint, mint készülő "új világ", de a kidolgozott , érdemi alkotás mégis csak Jánosé. A históriához hozzá tartozik Lobacsevszkíj neve is aki szintén rájött a dologra , de csak később , öt év mulva - az Appendix után- publikálta művét.

Az "Appendix" (függelék)

Lássuk miben áll a fölfedezés nagysága amely egy kétezer éves probléma megoldása.Euklidész V., mások szerint XI. axiómája a következő. " Legyen egy síkban két egyenesünk , és metszük azokat egy harmadik egyenessel. A két egyenes határtalanul kinyújtva , azon az oldalon metszi egymást , amely oldalon a belső szögek összege kisebb két derék szögnél. Ezt Euklidész posztulátumként állítja oda mint olyat, amelyet priori evidensnek látunk, sőt szükségképpeninek. Ugyanis bármeddig hosszabbítjuk meg a két egyenest ,azok mindig a tételnek megfelelően viselkednek.Na már most , ha a végesből a végtelenre vonunk le következtetést, a tétel helyes. De éppen ez a pont az ,amely a mélyen gondolkodó matematikusoknak már igen régen (Ptolemaiosz volt az első)föltünt és ezért az ötödik posztulátumot a bizonyítandó tételek sorába helyezték.Tehát : van egy tételünk melynek összes következményei helyesek, de a tétel mint axioma , a priori nem látható be , bizonyítva pedig még nincsen.2000 éven át a kérdéssel foglalkozó matematikusok törekvése ezt a hiányzó bizonyítást megadni. Kastner , Gauss és Bolyai tanítója, mintegy hétezer művet gyüjtött össze amelyek a problémával foglalkoznak. Minden bizonyításnál két féle módszer létezik. Direkt bizonyítani , vagy kimutatni az ellenkező lehetetlenségét. Ez utóbbit követi Farkas a Theoria Paralellumban. Fölvesz egy egyenest , majd egy merőlegest állít rá.ettől egyenlő távolban jobbra és balra szintén egyenlő merőlegeseket vesz. Már most- föltéve hogy nem igaz az V. axioma- ezeknek e merőlegeseknek a végpontjai egy sokszöget határoznak meg :ha pedig a merőlegeseket egész sűrűn rakjuk, akkor a végpontok összeköttetése egy görbe vonal lessz, amelyről Bolyai bizonyítja hogy ez csak önmagába visszatérő görbe lehet.Ebből pedig az következnék, hogy egy egyenesre két pontjában állított merőlegesek egy pontban találkoznak. Ez pedig ellentétben van azzal a tétellel, hogy egy egyenesre egy pontból csak egy merőlegest lehet vonni. Gauss egy levelében rámutat a bizonyítás hiányosságaira , de a fáradozásoknak igen nagy haszna van a geometriai alapfogalmak - egyenes , görbe - tisztázásában.

János gondolatai

Bolyai János volt az első, aki arra az állás pontra helyezkedett, hogy a paralellák tételétől függetlenül építse fel a geometriát.