Maximális ideál

Egy maximális ideál az algebrában, azon belül a gyűrűelméletben egy olyan ideál, ami a valódi ideálok között tartalmazásra nézve maximális.

Definíciók

Legyen $R$ egy gyűrű és $I\subsetneq R$ egy valódi ideál. Ekkor $I$ maximális kétoldali ideál, ha a következő ekvivalens tulajdonságok teljesülnek:

• Nem létezik olyan $J\subsetneq R$ valódi ideál, hogy $I\subsetneq J$.
• Minden $J$ ideálra $I\subseteq J$-ből következik, hogy $I=J$ vagy $J=R$.
• Az $R/I$ faktorgyűrű egyszerű.

Analóg módon definiálhatók a egyoldali maximális ideálok is; a következőkben csak a jobboldali definíciók szerepelnek. Legyen $A\subseteq R$ egy jobbideál. Ekkor $A$ jobboldali maximális ideál, ha a következő ekvivalens feltételek teljesülnek:

• Nem létezik olyan $B\subsetneq R$ valódi jobbideál, hogy $A\subsetneq B$.
• Minden $B$ jobbideálra $A\subseteq B$-ből következik, hogy $A=B$ vagy $B=R$.
• Az $R/A$ faktormodulus egyszerű.

Az egy- illetve kétoldali maximális ideálok fogalma a minimális ideálok fogalmának duálisa.

Példák

• Testekben az egyetlen maximális ideál $\{0\}$.
• A $\mathbb {C} [x]$ polinomgyűrű maximális ideáljai az $x-c$ elemek által generált főideálok, ahol $c\in \mathbb {C}$.
• A racionális egész számok $\mathbb {Z}$ gyűrűjében a maximális ideálok a prímszámok által generált főideálok.
• Általánosabban egy főidálgyűrű maximális ideáljai a nemnulla prímideálok.
• Egy algebrailag zárt $K$ test feletti $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ polinomgyűrű maximális ideáljai az $(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})$ alakú ideálok (ez az úgynevezett gyenge Nullstellensatz).

Tulajdonságok

• Ha $R$ egységelemes kommutatív gyűrű és ${\mathfrak {m}}\subseteq R$ ideál, akkor ${\mathfrak {k}}=R/{\mathfrak {m}}$ akkor és csak akkor test, ha ${\mathfrak {m}}$ maximális ideál. Ilyenkor ${\mathfrak {k}}$-t az ${\mathfrak {m}}$ maximális ideál maradéktestének nevezzük. Az állítás nem-egységelemes gyűrűkben nem igaz: $4\mathbb {Z} \subset 2\mathbb {Z}$ maximális ideál, de $2\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ nem test.
• Krull tétele: minden nemzéró egységelemes gyűrűben van maximális ideál. Az állítás igaz egyoldali ideálokra is.
• Kommutatív egységelemes gyűrűkben minden maximális ideál prímideál; a megfordítás általában nem igaz.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Maximal ideal című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.