Szerkesztő:Thuluviel/margó

A nulladrendű modális nyelv interpretációja $\longrightarrow$

Legyen az $\scriptstyle {{\mathfrak {F}}=\langle W,R\rangle }$ rendezett pár az ún. modális Kripke-keretstruktúra, ahol

• az $\scriptstyle {W}$ a világok halmaza,
• az $\scriptstyle {R}$ pedig egy tetszőleges binér $\scriptstyle {W}$-n értelmezett alternatívareláció.

Ha egy $\scriptstyle {v}$ világot egy $\scriptstyle {R}$ alternatívareláció köt össze $\scriptstyle {w}$-vel, azt mondjuk, hogy $\scriptstyle {v}$ alternatívája $\scriptstyle {w}$-nek, és így jelöljük: $\scriptstyle {wRv}$.

A $\scriptstyle {{\mathfrak {V}}\,\,:\,\,At\to {\mathcal {P}}(W)}$ függvényt $\scriptstyle {L^{(m0)}}$ nulladrendű modális nyelv kiértékelésének hívjuk az $\scriptstyle {\mathfrak {F}}$ frame-en, és így $\scriptstyle {{\mathfrak {V}}(p)}$ azon világok halmaza, melyben a $\scriptstyle {p}$ atomi formula igaz.

Az $\scriptstyle {L^{(m0)}}$ nyelv Kripke-modelljén vagy interpretációján az $\scriptstyle {{\mathfrak {M}}=\langle {\mathfrak {F}},{\mathfrak {V}}\rangle }$ rendezett párt értjük.

Tetszőleges modális formulák értékélése. Azt, hogy $\scriptstyle {A}$ formula igaz az $\scriptstyle {\mathfrak {M}}$ modell $\scriptstyle {w}$ világában, a következőképpen jelölhetjük; $\scriptstyle {({\mathfrak {M}},w)\models A}$ (vagy szokás még jelölni így is: $\scriptstyle {|A|_{w}^{\mathfrak {M}}}$), és a következőképpen definiáljuk:

$\scriptstyle {({\mathfrak {M}},w)\models p}$ a.cs.a., ha $\scriptstyle {w\in {\mathfrak {V}}(p)}$ minden $\scriptstyle {p\in At}$-ra.

$\scriptstyle {({\mathfrak {M}},w)\models \lnot A}$ a.cs.a., ha nem $\scriptstyle {({\mathfrak {M}},w)\models A}$.

$\scriptstyle {({\mathfrak {M}},w)\models A\land B}$ a.cs.a., ha $\scriptstyle {({\mathfrak {M}},w)\models A}$ és $\scriptstyle {({\mathfrak {M}},v)\models B}$.

$\scriptstyle {({\mathfrak {M}},w)\models \Diamond A}$ a.cs.a., ha van olyan $\scriptstyle {v\in W}$ világ, hogy $\scriptstyle {wRv}$ és $\scriptstyle {({\mathfrak {M}},v)\models A}$

Modális kalkulusok és jellemző formuláik - Jobbra nyithatod ki a táblázatot!

Nevezetes Modális formulák K: $\scriptstyle {\Box (A\rightarrow B)\rightarrow (\Box A\rightarrow \Box B)}$ D: $\scriptstyle {\Box A\rightarrow \Diamond A}$ T: $\scriptstyle {\Box A\rightarrow A}$ 4: $\scriptstyle {\Box A\rightarrow \Box \Box A}$ E: $\scriptstyle {\Diamond A\rightarrow \Box \Diamond A}$ 5: $\scriptstyle {\Diamond A\rightarrow \Box \Diamond A}$ B: $\scriptstyle {A\rightarrow \Box \Diamond A}$ Tr: $\scriptstyle {\Box A\leftrightarrow A}$ V: $\scriptstyle {\Box A}$ M: $\scriptstyle {\Box \Diamond A\rightarrow \Diamond \Box A}$ G: $\scriptstyle {\Diamond \Box A\rightarrow \Box \Diamond A}$ H: $\scriptstyle {\Box (\Box A\rightarrow B)\vee \Box (\Box B\rightarrow A)}$ H: $\scriptstyle {(\Diamond A\land \Diamond B)\rightarrow (\Diamond (A\land B)\vee \Diamond (A\land \Diamond B)\vee \Diamond (\Diamond A\land B))}$ Grz: $\scriptstyle {\Box (\Box (A\rightarrow \Box A)\rightarrow A)\rightarrow A}$ Dum: $\scriptstyle {\Box (\Box (A\rightarrow \Box A)\rightarrow A)\rightarrow (\Diamond \Box A\rightarrow A)}$ W: $\scriptstyle {\Box (\Box A\rightarrow A)\rightarrow \Box A}$

Nevezetes Modális kalkulusok Az egymás mellé írt betűk a formulák szimbólumai, amivel a Klasszikus logikai kalkulust bővítjük ki. KT : A Gödel-Feys-Von Wright rendszer; a T kalkulus. KT4 :A Lewis-féle S4 kalkulus KT4B=KT4E=KT5: A Lewis-féle S5 kalkulus KD : Deontikus T kalkulus KD4: Deontikus S4 kalkulus KD4E: Deontikus S5 kalkulus KTB: A Brouwer-rendszer KT4M: Az S4.1 kalkulus KT4G: Az S4.2 kalkulus KT4H: Az S4.3 KT4Dum, Prior diodóroszi logikája; a D kalkulus KT4Grz=K4Grz=KGrz: Grzegorczyk rendszere K4W=KW: Löb rendszere; a GL kalkulus K4WT=KWT: Az S kalkulus KTr=KT4BM: A triviális rendszer KV: A verum rendszer

A K: $\scriptstyle {\Box (A\rightarrow B)\rightarrow (\Box A\rightarrow \Box B)}$ formula érvényes az $\scriptstyle {\{{\mathfrak {F}}\,\,|\,\,{\mathfrak {F}}=\langle W,R\rangle \}}$ osztályon. $\longrightarrow$

K: $\scriptstyle {\Box (A\rightarrow B)\rightarrow (\Box A\rightarrow \Box B)}$

Tegyük föl, hogy van olyan $\scriptstyle {\mathfrak {M}}$ modell és egy $\scriptstyle {w}$ világ, amely cáfolja K-t. Ezek szerint:

$\scriptstyle {(1)({\mathfrak {M}},w)\models \Box (A\rightarrow B)}$

$\scriptstyle {(2)({\mathfrak {M}},w)\models \Box A}$

$\scriptstyle {(3)({\mathfrak {M}},w)\models \!\!\!\!\!\neq \Box B}$

A $\scriptstyle {\Box }$ operátor miatt más lehetséges világokat is meg kell majd vizsgálnunk. $\scriptstyle {(1)}$ és $\scriptstyle {(2)}$ miatt $\scriptstyle {(3)}$ csak úgy lehetséges, ha van egy olyan $\scriptstyle {v}$ világ, amely elérhető $\scriptstyle {w}$-ből $\scriptstyle {(wRv)}$, és

$\scriptstyle {(4)({\mathfrak {M}},v)\models \!\!\!\!\!\neq B}$

Ugyanakkor $\scriptstyle {(1)}$ és $\scriptstyle {(2)}$ szerint ugyanezen $\scriptstyle {v}$ világban ezek teljesülnek:

$\scriptstyle {(5)({\mathfrak {M}},v)\models A\rightarrow B}$

$\scriptstyle {(6)({\mathfrak {M}},v)\models A}$

Azonban $\scriptstyle {(4)}$,$\scriptstyle {(5)}$ és $\scriptstyle {(6)}$ ellentmondásosak, így a feltevést megcáfoltuk, és bizonyítást nyert, hogy K valóban érvényes formula.

Gondolatok K-ról és modális kalkulusokról...

Magamnak info:

• K tétele Ruzsánál p. 323 a feltételes modális generalizálás törvénye
• Ez azt mondja ki, hogy K-érvényes formula bármely f.m.g.-ja is K érvényes.
• Ez a tétel K-érvényes, de nem K^n érvényes. (Ezért is lesz axióma!;)
  • Ez azt jelenti, hogy ha nem N-beli v világról beszélünk, „akkor A hamissága v-ben nem cáfolja az A formula K^n érvényességét.” K^n és K közt az a különbség, hogy K^n érvényes valami csakkor, ha érvényes az összes normál világban, és K-érvényes valami, ha igaz az összes világban.
  • nemnormál világok csak agyament kalkulusokhoz kellenek, pl. S2 és S3-hoz. A nemnormál világokban minden lehetséges és semmi sem szükségszerű. K mint axióma maga után vonja, hogy W=N.
• K Ruzsánál:
• KS Ruzsánál

Magamnak info: normál modális kalkulus: Ahol minden levezethető formula modális generalizáltja is levezethető, azaz ahol érvényes a modális generalizálás törvénye.

Magamnak info: standard modális kalkulus: az (ms) szinguláris alapformula (\box (p \supset p)) nélkül felépíthető normál kalkulusok.

Képek a modális logikákhoz

Képek
Néhány lehetséges világ ($\scriptstyle {w_{1},...}$) és köztük alternatívarelációk (nyilak). A további képeken ezt fogjuk a követelmények szerint alakítani.
Egy T rendszer szerint alakítva. A zöld 'hurkok' a reflexivitásért felelősek.	A K4 rendszer szerint alakítva. A kék nyilak a tranzitivitást jelölik.	Az S4 rendszer szerint alakítva. Láthatóan a T és K4 rendszerek egybeillesztése.	Az S5 rendszer szerint alakítva. A barna nyilak a relációk szimmetrikus voltát fejezik ki. A többi nyílért lásd a kisebb rendszereket.
Az SDL rendszer szerint alakítva. A narancsszínű nyíl a szerialitásért felelős. Ezt természetesen bármelyik világhoz behúzhattuk volna. (Akár saját magához is!)	Az SDL+ rendszer szerint alakítva. A lila nyilak a másodlagos szerialitásért felelősek.
Ez a diagram lehetséges világokat ($\scriptstyle {w_{1}...}$ krumplik), alternatívarelációkat (nyilak), és a formulákat mutat. Minden ilyen világban jelölve vannak, hogy mely formulák ($\scriptstyle {\phi ,\psi ,\chi ,\lnot \phi ,\lnot \psi ,\lnot \chi }$) igazak bennük.

Átmenetileg itt a modális logika külön szócikkbe tervezett története

A modális logika története

Arisztotelész modális logikája

Arisztotelész kategorikus szillogisztikája után, a négy kategorikus szillogizmus modális elemzésére is kísérletet tesz. Ezen fejtegetések a Herméneutikában és az Első Analitikában találhatók, és változatosságuk miatt megértésük jelentős erőfeszítést igényel.

Kíváncsiak lehetnénk arra, hogy mitől lesz igaz Arisztotelész szerint egy igaz egy szükségszerű vagy lehetséges kijelentés, azonban Arisztotelész erre az alapvető szemantikai kérdésre nem ad választ, és ez meg is nehezíti az ő - és az értelmezők - dolgát.

A modális elemzést valószínűleg a lényegi és esetleges tulajdonságok megkülönböztetése motiválta. Lényegi (idegen szóval attribútum) egy tulajdonság, ha viselője ennek elvesztésével megszűnne az lenni, ami. Ebből következően esetleges vagy járulékos az a tulajdonság, amelyre ez nem igaz. Például az, hogy az emberek 120 évnél fiatalabbak, járulékos tulajdonság, de az, hogy halandóak, már attribútum.

A különbség a de re és de dicto állításokban köszön vissza. Előbbi szerint a modalitást a dologról, illetve annak tulajdonságáról állítjuk, míg az utóbbi szerint ezt a modalitást a kijelentésről, melyben a dolog szerepel (lásd lentebb). A modális szillogizmusok esetében nagyon változó, hogy de re vagy de dicto olvasatban állnak-e meg, de sejteni lehet, hogy a de re olvasat dominál. Furcsa módon előfordulnak azonban az Arisztotelész által felállított szillogizmusok közt olyanok is, amelyek egyik értelmezésben sem helytállóak. Ez a két típusú modalitás azonban nem csak Arisztotelésznél okoznak bonyodalmat; Komoly vitákat produkálnak majd mind a középkorban, mind a 20. században.

Középkori modális logika

Modern fejlemények

A Barcan-séma és a kvantor-hatókörök - A részletezés jobbra nyitható!

Ahhoz, hogy milyen szemantikával álljunk hozzá a modális rendszerek elsőrendű bővítéséhez - és így a Barcan-sémához is -, BF igazságfeltételének közelebbi vizsgálatát is igényli:

(BF) $\scriptstyle {\quad \Diamond \exists x\,\,A\rightarrow \exists x\,\,\Diamond A}$

1. Tegyük fel, hogy $\scriptstyle {({\mathfrak {M}},w)\models \Diamond \exists x\,\,A}$.
2. Eszerint, ha $\scriptstyle {wRw'}$, akkor: $\scriptstyle {({\mathfrak {M}},w')\models \exists x\,\,A}$.
3. Az $\scriptstyle {x}$ egy alkalmas értékelésekor: $\scriptstyle {({\mathfrak {M}},w')\models A}$
4. Ebből viszont, mivel $\scriptstyle {wRw'}$, következik a következő is: $\scriptstyle {({\mathfrak {M}},w)\models \Diamond A}$, De csak akkor, ha $\scriptstyle {x}$ azon értéke, melyet az előző értékeléskor felvett, a $\scriptstyle {w}$ világ kvantifikációs tartományában is jelen van!.

Ezért van az, hogy ha a kvantorok világonkénti változását megengedjük, a Barcan formula érvénytelenedik.