A tetráció (más néven exponenciális leképezés, hatványtorony, szuperhatványozás vagy hyper4) valójában iteratív hatványozás, az első hiperművelet a hatványozás után. A tetráció szót Reuben Louis Goodstein alkotta meg a tetra és az iteráció szavakból. A tetrációt nagyon nagy számok jelölésére használják. Egyes források szuperhatványfüggvényeken olyan függvényeket értenek általában, amelyek a hatványoknál gyorsabban, de az exponenciálisan növő függvényeknél lassabban nőnek.
ahol minden műveletet az előző iterálásával határozunk meg.
A szorzás () másképpen „b darab a összeadva” és következésképpen a hatványozás () pedig „b darab a összeszorozva”. Tehetünk egy további lépést, és a tetráció () így „b darab a hatványozása”.
Fontos megjegyezni, hogy többszintű hatványok kiértékelésekor először a legbelső szintet értékeljük ki (ez jelölésben a legfelső). Másképpen:
nem ugyanaz, mint
(Ez a műveletek sorrendjének általános szabálya ismételt hatványozásra alkalmazva.)
Conway-nyílláncolat: ; a kettes szám növelésével kiterjeszthető (ez azonos a fenti kiterjesztésekkel), vagy erőteljesebben a láncolat meghosszabbításával.
hyper4 jelölés: ; a 4-es szám növelésével terjeszthető ki, az adja a hiperoperátorok családját.
Kiterjesztés a második operandus kis értékeire[szerkesztés]
A kapcsolat felhasználásával (ami következik a tetráció definíciójából), kikövetkeztethetjük vagy definiálhatjuk értékeit, ha .
Ez megerősíti az intuitív definíciót, miszerint egyszerűen . Ilyen minta alapján azonban további iterációval nem lehet további értékeket kikövetkeztetni, mivel nincs értelmezve.
Hasonlóan, mivel sem értelmezett (mert ),a fenti következtetés nem működik, ha = 1. Ezért nek is értelmetlennek kell maradnia. (A kifejezés nyugodtan maradhat 1.)
Néha a t is értelmetlennek veszik. Ebben az esetben értékeit sem definiálhatjuk közvetlenül. Azonban meghatározott és létezik:
Ez a határérték marad negatív -eknél is. eszerint határozható meg, és ez összefér azzal, ha (mivel a 0 páros).
A tetráció a -1-nél kisebb kitevőkre nem terjeszthető ki rekurzióval, mivel
A negyedik követelmény megközelítésenként változik. A két fő megközelítés egyik a regularitást követeli meg, a másik a differenciálhatóságot. A két megközelítés annyira különböző módszereket használ, hogy azt sem tudjuk, hogy az eredmények megegyeznek-e.
Ha valahogy definiáljuk az függvényt egy 1 hosszúságú intervallumon, akkor a rekurzív összefüggés szerint minden számra definiálva lesz.
A bizonyítás azon alapul, hogy a 2.-4. feltételekből következik, hogy a függvény lineáris a [−1, 0] zárt intervallumon.
Az természetes alapú tetráció lineáris approximációja folytonosan differenciálható, de második deriváltja nem létezik az egész helyeken. Hooshmand bizonyított egy másik egyértelműségi tételt is, ami kimondja, hogy:
Ha
folytonos függvény, ami teljesíti, hogy:
konvex
akkor , ahol Hooshmand jelölése a természetes alapú tetrációfüggvény lineáris közelítésére.
Ez a tétel az előbbihez hasonlóan bizonyítható; a rekurzió biztosítja, hogy és a konvexség miatt lineáris (−1, 0)-n.
Így a természetes alapú tetráció lineáris approximációja az egyértelmű megoldása, és , ami konvex -ben. Az összes többi differenciálható megoldásnak inflexiós pontja van (−1, 0)-ban.
Mivel a komplex számokat is lehet hatványozni, a tetráció alkalmazható a
formájú számokra, ahol ‒1 négyzetgyöke. Például ha , akkor esetén a tetrációt úgy érjük el, ha alkalmazzuk a természetes logaritmussal való felírást és észrevesszük a kapcsolatot:
Ebből rekurzívan definiálhatjuk -t, bármilyen esetén:
Innen kaphatjuk a következő közelítő értékeket, ahol a rendes hatványozás (tehát ).
A kapcsolat megfejtésével a várt -t és -t kapjuk, végtelen eredménnyel a képzetes tengelyen. A komplex számsíkon ábrázolva a sorozat spirálisan tart a határértékhez, amit úgy értelmezhetünk, mint azt a helyet, ahol végtelen.
Az ilyen tetrációs sorozatokat már Euler ideje óta tanulmányozzák, de kaotikus viselkedésük miatt nehezen érthetők. A legtöbb publikált kutatás a hatványtorony-függvény konvergensségével foglalkozik. A mai kutatás nagy segítségei a gyors számítógépek fraktál- és matematikai szoftverei. A tetrációról való tudásunk nagy része a komplex dinamika általános eredményeiből és az exponenciális leképezés kutatásából származik.
Egy sejtés szerint[3] az F(z+1)=exp(F(z)) egyenletnek van egy egyértelmű F függvény megoldása, amire még az is teljesül, hogy F(0)=1, és F(z) megközelíti a logaritmus fixpontjait, ha helye tart ±i∞-hez, és F holomorf a teljes komplex síkon, kivéve a z≤−2 félegyenest. Ennek a függvénynek dupla pontosságú komplex (double precision) közelítése elérhető online.[4] A valós tengelyen szingularitásai vannak a pontokban.
A holomorfia kikötése biztosítja az egyértelműséget, mivel sok függvény konstruálható, amire:
ahol az és valós sorozatok elég gyorsan csökkennek ahhoz, hogy biztosítsák a konvergenciát legalább kis értékeire.
Ez az függvény a tetrációhoz hasonlóan viselkedik: S(z+1)=exp(S(z)), S(0)=1, és jól választott és valós sorozatok esetén analitikus lesz a valós tengely pozitív félegyenesének környezetében. Azonban, ha {α} vagy {β} nem az azonosan nulla sorozat, az függvénynek még több szingularitása és szakadási egyenese keletkezik, mivel a szinusz- és a koszinuszfüggvény abszolút értéke exponenciálisan nő a valós tengelytől távolodva. Minél kisebbek az {α} és a {β} együtthatók, annál távolabb lesznek ezek a szingularitások a valós tengelytől. A valós analitikus tetráció nem egyértelmű, ezért kell a komplex síkra kiterjeszteni.
Jelenleg (2016) még az sem ismert, hogy nq lehet-e egész bizonyos pozitív egész n-re és alkalmasan választott q pozitív nem egész racionális számra.[5] Még azt sem tudjuk, hogy 4x = 2 -ben az x pozitív szuperlogaritmus racionális szám-e.
Mivel a tetráció művelete nem kommutatív, ezért két inverz művelete van. Az alap keresésére a szupergyök- vagy hipergyökfüggvény szolgál, a kitevőt szuper- vagy hiperlogaritmus adja meg.
A második szupergyök, négyzetszupergyök, vagy szupernégyzetgyök jelölései és . Az inverze, és reprezentálható a Lambert-féle W-függvénnyel:[6]
A szupernégyzetgyökben a gyökvonás és a logaritmus szerepe szimmetrikus; a következő egyenlet csak akkor igaz, ha :
A négyzetgyökhöz hasonlóan a szupernégyzetgyök sem egyértelmű. Meghatározása nem olyan egyszerű, mint a négyzetgyöké. Általában, ha , akkor x-nek két szupernégyzetgyöke van 0 és 1 között; ha , akkor szupernégyzetgyöke egyértelmű, és szintén nagyobb egynél. Hogyha pedig , akkor nincs valós hipernégyzetgyöke, de a fenti képlet megszámlálható végtelen szupernégyzetgyököt ad, ha x különbözik 1-től.[6] A függvényt használták adatklaszterek méretének kiszámítására.[7]
Az n > 2 egészekre nx értelmes és növekvő függvény minden x ≥ 1-re, n1 = 1, így x-nek létezik n-edik szupergyöke.
Azonban a fenti lineáris approximáció szerint , ha −1 < y ≤ 0, így ebben a tartományban az megoldhatatlan.
A szuperköbgyök az kifejezésben keresi az y-t. Jelölése: . A negyedik szupergyök , és általában, az n-edik szupergyök . Ahogy a szupernégyzetgyöknél láttuk, ez nem biztos, hogy egyértelmű. Például, ha n páratlan, akkor egy, ha n páros, akkor két valós szupergyök lehet.
Mivel bizonyos számok esetén a végtelen hatványtornyoknak is véges értéket lehet tulajdonítani, ezért a megfelelő 1/e ≤ x ≤ e értékek esetén végtelenedik szupergyök is kereshető. Jegyezzük meg, hogy -ból következik, hogy , így . Emiatt, ha létezik, akkor , így ez elemi függvény. Például .
A Gelfond–Schneider-tételből adódik, hogy egy pozitív egész szupernégyzetgyöke vagy egész, vagy transzcendens, és szuperköbgyöke vagy egész, vagy irracionális.[5] Nyitott kérdés azonban, hogy az irracionális transzcendensek-e utóbbi esetben.
A sor a 2-höz tart, így egyenlőnek tekinthetjük azzal. A 2-höz tartás úgy látható be, ha kiértékelünk egy véges tornyot:
Általában az végtelen hatványtorony esetén konvergens. Tetszőleges valós -re, ha , legyen ; ekkor a határérték. Ha , akkor nincs konvergencia ( maximuma ).
Ezt komplex számokra is kiterjeszthetjük a következő definícióval:
Ioannis Galidakis, Mathematics, (Hivatkozások a tetráció kutatására, sok információval a W függvényről, Riemann-felszínről és analitikai eredményekről.)
Galidakis, Ioannis and Weisstein, Eric W. Power Tower
Ez a szócikk részben vagy egészben a Tetration című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.