Szerkesztő:Qorilla/Képzetes egység

A matematikában a képzetes egység (latin eredetű szóval imaginárius egység) egy olyan szám, aminek a négyzete definíció szerint −1. Besorolása szerint komplex szám, azon belül algebrai szám, azon belül pedig képzetes szám.

Leggyakoribb jele az $i$ (továbbiak a jelöléséről szóló részben). Segítségével a valós számok halmazából megalkotható a komplex számok halmaza. Pontos definíciója a felhasznált fogalmaktól függően többféle lehet.

A képzetes egységet sokszor pongyolán a „mínusz egy négyzetgyöke”-ként említik, de az ilyen szóhasználat illetve jelölés naiv értelmezése gondokhoz vezet, ugyanis negatív számokból nem lehet ugyanolyan szabályok szerint gyököt vonni, mint nemnegatívokból.

Definíció

Definíciója szerint a képzetes egység olyan szám, aminek a négyzete −1, azaz megoldása az alábbi egyenletnek:

$x^{2}+1=0$

Ilyen valós szám ugyan nincsen, de másfajta számként el lehet képzelni egy ilyet, amihez hozzárendelhetjük az $i$ jelet. Fontos azonban, hogy matematikailag ez az $i$ ugyanannyira érvényes és igazi konstrukció, mint bármely „valós” szám, csupán más jellegű értéket jelképez. A valós számokhoz hasonlóan lehet vele műveleteket végezni, azaz számolni, így a képzetes egységet is számnak nevezzük. Így tehát a képzetes elnevezés csak történeti jelentőségű, és csupán arra mutat rá, hogy egy ilyen számot elképzelni kevésbé intuitív, mint a valós számokat, mert a hétköznapi élet során nincs olyan nagy jelentősége, mint a valósoknak.

Az $i$ ellentettje

Ha már megalkottunk (elképzeltünk) egy olyan $i$ számot, aminek a négyzete −1, és értelmezzük rajta a szorzás műveletét is, akkor nyilvánvalóvá válik, hogy nem csak az eredetileg elképzelt $i$ szám rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy a négyzete −1, hanem a −1-szerese, a $-i$ is, hiszen $(-i)^{2}=(-1)^{2}\cdot i^{2}=1\cdot (-1)=-1$.

Tehát az $x^{2}+1=0$ egyenletnek két megoldása van. Ezek egymásnak multiplikatív ($1=i(-i)$) és additív ($i+(-i)=0$) inverzei. $i$ és $-i$ nyilván nem egyenlő, hiszen például

$i\cdot (-i)=i^{2}\cdot (-1)=(-1)\cdot (-1)=1\neq -1=i^{2}=i\cdot i$

$i\cdot (-i)\neq i\cdot i$

$i\neq -i$

Így az $i$ definíciója – miszerint olyan szám aminek a négyzete −1 – talán nem tűnik „egyértelműnek”, hiszen két ilyen tulajdonságú szám is van. Azonban ez a „választási lehetőség” csupán azután látható, hogy egy ilyen számot már elképzeltünk. Ha csak a valós számok halmazát értelmeztük eddig, akkor nincsen honnan „választani”, új számot kell alkotnunk. Azonban ez maga után vonja, hogy ennek mínusz egyszerese is rendelkezni fog a kérdéses tulajdonsággal. Ekkor azonban már $i$ rögzítve lett, így nincs értelme arról beszélni, hogy „egyértelműen” van-e definiálva. Másképp fogalmazva, $i$ definíciója előtt nem „létezett” még az $x^{2}+1=0$ egyenlet kétféle megoldása, ami egyértelműtleníthetné $i$ definícióját.

Így ezután azt is mondhatnánk, hogy legyen $k=-i$, és ekkor a $k$ ugyanúgy ellátná a képzetes egység szerepét, mint ahogy az $i$. Magyarul, ha a képzetes egységre építő definíciókban és tételekben az $i$ helyett mindenhol ez a $k$ (azaz a $-i$) szerepelne, akkor is ugyanazt jelentené minden; hiszen az $i$-t elképzelésekor az tette $i$-vé, hogy a négyzete −1 (az $i$ számnak mindig csupán ezt az egy tulajdonságát használjuk), ami pedig erre a $k$-ra is igaz.

Az $i$ és a $-i$ azonban nem keverhető, ha $i$-t $-i$-re szeretnénk cserélni, akkor mindenhol le kéne cserélnünk, hiszen a két szám különböző. Pontosabban egymástól (relatív értelemben) megkülönböztethetők, de a valós számok felé csak a „−1 a négyzete” tulajdonságuk „látszik”, így ilyen (abszolút) értelemben nem megkülönböztethetők.

Ennek alapján fontos tehát, hogy nem értelmezhető olyan kérdés, hogy a kettő közül „melyik” −1 négyzetű számot jelöli az $i$, és melyiket a $-i$, hiszen ez a kettősség csak akkor jelenik meg, amikor $i$ már rögzítésre került.

Műveletek végzése

A valós számokon használt műveleteket képzetes és egyéb komplex számokra úgy terjesztjük ki, hogy az $i$ egységre mint ismeretlen dologra tekintünk, aminek csak azt a tulajdonságát használjuk, hogy a négyzete −1 ($i$ tulajdonképpen ennek az egy tulajdonságnak a „megtestesítője”).

A képzetes egység négyzetgyöke

A képzetes egységből is lehet négyzetgyököt vonni a komplex számok halmazán.

${\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$

Ha négyzetre emeljük a jobb oldalt, valóban visszakapjuk az $i$-t.

$\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}$	$=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}$
	$={\frac {1}{2}}(1+i)(1+i)\$
	$={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad \quad (i^{2}=-1)$
	$={\frac {1}{2}}(1+2i-1)$
	$={\frac {1}{2}}(2i)$
	$=i$

A képzetes egység reciproka

$i$ reciproka is könnyen megállapítható:

${\frac {1}{i}}\;=\;{\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}\;=\;{\frac {i}{i^{2}}}\;=\;{\frac {i}{-1}}\;=\;-i$.

A képzetes egység egészkitevős hatványai

$i$ hatványai szakaszosan ismétlődnek:

…

$i^{-3}=i$

$i^{-2}=-1$

$i^{-1}=-i$

$i^{0}=1$

$i^{1}=i$

$i^{2}=-1$

$i^{3}=-i$

$i^{4}=1$

…

Általánosan bármely egész $n$ esetén igaz:

$i^{4n}=1$

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i$

Azaz tömören

$i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}$

ahol a ${\bmod {4}}$ a néggyel való osztási maradékot jelöli.

Euler-képlet

Az Euler-képlet szerint

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ ,

ahol $x$ valós szám. A képlet komplex $x$-ekre is kiterjeszthető.

Euler-azonosság

Ha $x$ helyére a π-t helyettesítjük, akkor azt kapjuk, hogy

$e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )=-1+0i$

amiből az elegáns Euler-azonosság adódik:

$e^{i\pi }+1=0$

Jelölések

• A matematikában általánosan az $i$ betűvel jelölik a képzetes egységet.
• Komoly matematikai könyvekben és ismeretterjesztő szövegekben egyaránt előfordul a ${\sqrt {-1}}$ jelölés is. Ekkor azonban észben kell tartani, hogy a valós és a komplex gyökvonás két külön művelet. Komplex négyzetgyökvonás esetén két megoldás adódik (egymás ellentettjei), míg valós gyökvonás esetén csak egy, de ez csak nemnegatív valósok esetén van értelmezve. Valós gyökjelként kezelve a −1 felett lévő gyökjelet a következő helytelen eredményre jutunk:

$-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$    (helytelen).

A probléma abból adódik, hogy a (−1)-ből történő négyzetgyökvonás csak a komplex gyökvonás művelete lehet, hiszen −1 negatív. A végén viszont az 1-ből nem a komplex módon, hanem a valós gyökvonással vonunk gyököt. A fenti számítást ennek fényében plusz-mínusz jelekkel korrigálva igaz lesz az egyenlőség:

$-1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1$   (nem egyértelmű, de helyes).

Csak a valós gyökjeleket lehet a következőképpen összevonni (ehhez pedig nemnegatív a és b szükséges):

${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}$

A komplex gyökvonásra viszont épp a kettős eredménye miatt nem írható fel ilyen azonosság.

A képzetes egység a ${\sqrt {-1}}$ jelölés többértelműséget hivatott megszüntetni, hogy az ilyen számításokat egyértelmű módon tudjuk elvégezni. Az egyértelműség kedvéért tehát kerülendő az olyan felírás, amiben negatív szám szerepel a négyzetgyökjel alatt. Például ${\sqrt {-7}}$ helyett jobb kiírni, hogy az $i{\sqrt {7}}$-re vagy a $-i{\sqrt {7}}$-re esetleg mindkettőre gondolunk.

• Villamosmérnökök és hasonló tudományágak képviselői általában $j$-vel jelölik a képzetes egységet, hogy ne legyen összetéveszthető az elektromos áramerősség jelével. A Python programozási nyelvben szintén a $j$ betű használatos, de például a Matlab matematikai programcsomagban az $i$ és $j$ is ugyanúgy a képzetes egységet jelöli.
• Bizonyos fizikakönyvek $i$-t és $j$-t is alkalmazzák, azonban ezek ott egymás ellentettjét jelölik, azaz $i=-j$ illetve $j=-i$. Hogy a kettő közül melyik a „szokványos” képzetes egység, az értelmetlen kérdés (a szimmetria miatt).
• Megint mások a görög ι (ióta) betűt használják a félreértések elkerülésére.