Szerkesztő:Qorilla/Határérték

A matematikában a határérték fogalmával függvények és ezen belül sorozatok jellemezhetők. Szemléletesen azt az értéket jelenti, amit a függvény értéke tetszőlegesen „megközelít”, ha az argumentuma egy adott értéket eléggé „megközelít” (a ±végtelen kezelését lásd lent). Az itt használt „megközelítés” szó azonban pontosabb definíciót igényel. Valójában a határérték nem folyamatot, közelítést jelöl, hanem a függvény viselkedését írja le egy adott hely környezetében.

Határérték nem minden függvény esetében illetve nem minden helyen létezik. A matematikai analízis sok alapvető fogalmát is a határérték segítségével szokás definiálni. Többek között erre épül az integrál- és differenciálszámítás is.

A ''limes'' (latin, határ) szó alapján a határérték jele a lim.

A határérték fogalma a topológia, illetve a kategóriaelmélet eszközeivel általánosítható, például komplex számok esetére.

Definiálása

A definíció során meg kell különböztetnünk véges helyen és végtelenben vett határértéket, és hasonlóképpen külön kell definiálnunk, hogy mit értünk véges illetve végtelen határértéken.

Sorozatok határértékét külön is szokás definiálni. Hogyha először ezt definiáljuk, akkor a függvényhatárérték definiálható a sorozat határértékének segítségével. Ha azonban rögtön az általánosabb függvényhatárértékét definiáljuk, akkor ezáltal a számsorozatok határértékét is definiáltuk mint pozitív végtelenben vett függvényhatárértéket, hiszen a számsorozat nem más, mint a pozitív egészeken értelmezett valós értékű függvény.

Alább olvashatók rendszerezetten a fent említett definíciók.

Sorozat esetén

Motiváció: Figyeljük meg például a következő sorozatot: 1,79; 1,799; 1,7999; … . Érezzük, hogy a számok egyre „közelítenek” az 1,8-hez, jogos tehát, hogy az 1,8-et szeretnénk a sorozat határértékének hívni.

Következzen a pontos definíció, amihez legyen adott az {x_n} = x₁, x₂, … valós számokból álló sorozat.

Függvényhatárértéktől független definíció

Véges határérték

Akkor mondjuk, hogy az {x_n} sorozat határértéke a valós A szám, – jelöléssel:

$\lim x_{n}=A$ vagy $x_{n}\to A$

– hogyha minden ε>0 esetén létezik olyan N(ε) (ε-tól függő) természetes szám, melyre minden n > N(ε) esetén |x_n – A| < ε.

Szemléletesen ez azt jelenti, hogy tetszőlegesen közel kerülhetek a határértékhez azáltal, hogy elég messze megyek az indexszel, hiszen az |x_n – A| abszolút érték az x_n és A „távolságaként” is felfogható. Ha létezik olyan tulajdonságú A szám, ami a fenti definíciónak megfelel, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük, ha pedig nem, akkor divergensnek. Bebizonyítható, hogy legfeljebb egy ilyen szám létezhet, így a $\lim x_{n}$ jelölés és a „határérték” megnevezés egyértelmű.

Végtelen határérték

A sorozat határértékét akkor tekintjük pozitív végtelennek, – jelöléssel:

$\lim x_{n}=+\infty$ vagy $x_{n}\to +\infty$

– hogyha minden K valós szám esetén létezik olyan N(K) (K-tól függő) természetes szám, melyre minden n > N(K) esetén K < x_n.

Hasonlóan: A sorozat határértékét akkor tekintjük negatív végtelennek, – jelöléssel:

$\lim x_{n}=-\infty$ vagy $x_{n}\to -\infty$

– hogyha minden k valós szám esetén létezik olyan N(k) (k-tól függő) természetes szám, melyre minden n > N(k) esetén x_n < k.

Azaz szemléletesen fogalmazva ilyenkor a sorozat egy idő után minden határ fölé vagy alá nő illetve csökken.

A függvényhatárérték felhasználásával

Ha a lejjebb olvasható függvényhatárérték definícióját alkotjuk meg először, akkor a sorozat határértéke a pozitív végtelenben vett függvényhatárérték speciális esete lesz. Legyen f(n)=x_n. Ekkor:

$\lim x_{n}=\lim _{n\to +\infty }f(n)$

Függvény esetén

Sorozatok esetén csak egyféle, a pozitív végtelenben vett határérték értelmezhető, az értelmezési tartomány „ritkasága” miatt (azaz nem található bármely két pozitív egész között még végtelen sok egész, ellentétben a például a racionális vagy éppen az irracionális számokkal.)

Általános esetben azonban függvények határértéke értelmezhető pozitív illetve negatív végtelenben és véges helyen véve is. Motiváció: Tekintsük az f(x) = x / x függvényt. f(0) nem értelmezhető, mert a képletben nullával kéne osztani, azonban azt érezzük, hogy f függvény a 0 hely környékén az 1 értéket veszi fel. Ennek a pontos megfogalmazása következik.

A sorozat határértékét felhasználó definíció

Legyen f a valós számok valamely részhalmazán értelmezett valós értékű függvényt. Legyen R a végtelenekkel bővített valós számhalmaz:

${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$.

Legyen c ∈ R. Az f függvény c-nél vett határértékének akkor nevezzük az A ∈ R értéket, hogyha az összes c határértékű, f értelmezési tartományának elemeiből álló, de c értéket soha fel nem vevő {x_n} sorozat esetén (ha ilyen sorozat egyáltalán létezik) a belőle képzett {f(x_n)} sorozat határértéke minden esetben A. Jelekkel:

$\lim _{x\to c}f(x)=A$ azt jelenti, hogy $\forall (\{x_{n}\}|x_{n}\in D_{f},x_{n}\neq c,x_{n}\to c):f(x_{n})\to A$

Megjegyzés: Ha egyáltalán nincsen ilyen {x_n} sorozat, vagy ha nem mindegyik így képzett {f(x_n)} sorozat határértéke ugyanaz, illetve nem mindegyiknek létezik határértéke, akkor az f függvénynek nincsen határértéke c-nél.

Szemléletesen: Akárhogy is közelítjük az argumentummal (x-szel) a c értéket, a függvényérték mindenképpen az A értéket közelíti.

Féloldali határértékek

Most legyen c ∈ R. Az f függvény c-nél vett bal <jobb> oldali határértékének akkor nevezzük az A ∈ R értéket, hogyha az összes c határértékű, f értelmezési tartományának elemeiből álló, c-nél kisebb <nagyobb> értékeket felvevő {x_n} sorozat esetén (ha ilyen sorozat egyáltalán létezik) a belőle képzett {f(x_n)} sorozat határértéke minden esetben A. Jelekkel:

Bal oldali határérték:

$\lim _{x\to c-}f(x)=A$ azt jelenti, hogy $(\exists \{x_{n}\}:x_{n}\in D_{f},x_{n}<c,x_{n}\to c)$ és $\forall (\{x_{n}\}|x_{n}\in D_{f},x_{n}<c,x_{n}\to c):f(x_{n})\to A$

Jobb oldali határérték:

$\lim _{x\to c+}f(x)=A$ azt jelenti, hogy $(\exists \{x_{n}\}:x_{n}\in D_{f},x_{n}>c,x_{n}\to c)$ és $\forall (\{x_{n}\}|x_{n}\in D_{f},x_{n}>c,x_{n}\to c):f(x_{n})\to A$

Ha a két féloldali határérték nem azonos, akkor a függvénynek nincs határértéke, csak féloldali határértéke. Bebizonyítható, hogy ha viszont a két féloldali határérték azonos, akkor ezekkel egyenlő a függvény feljebb definiált határértéke is.

A sorozat határértékétől független definíció

A fentivel megegyező értelmű (azaz ekvivalens) fogalmat kaphatunk a sorozat határértékének használata nélkül is. A sorozat határértékétől független definíció viszonylag sok esetszétválasztást igényel, ezért bizonyos esetekben praktikusabb a sorozat határértékének felhasználásával megalkotott definíció. Az alábbi úgy nevezett epszilon–deltás definíciók viszont sok tétel bizonyításánál előnyösebben kezelhetők. Észrevehető, hogy a rengeteg külön eset mind ugyanazt az elvet követi, azonban pozitív és negatív végtelentől vett távolságot nem tudunk értelmezni, így erre mindig külön definíciót kell alkalmaznunk.

Véges helyen vett féloldali határértékek

Bal oldali határérték

Legyen f olyan függvény, amely értelmezve van valamely c pont „bal oldali” környezetében. (Azaz bármely pozitív d esetén van olyan c-nél kisebb értelmezési tartománybeli elem, aminek a c-től vett „távolsága” kisebb, mint d) Vagyis jelekkel: $\forall d>0:\exists x<c\in D_{f}:|x-c|<d$.

Véges határérték

f függvény c helyen vett bal oldali határértéke a valós A szám – amit a következőképpen jelölünk –

$\lim _{x\to c-}f(x)=A$

pontosan akkor, ha minden ε>0 esetén létezik olyan δ(ε)>0 (ε-tól függő) szám, hogy minden esetben, amikor 0 < c - x < δ(ε), | f(x) - A | < ε is teljesül.

Végtelen határérték

f függvény c helyen vett bal oldali határértéke pozitív végtelen – amit a következőképpen jelölünk –

$\lim _{x\to c-}f(x)=+\infty$

pontosan akkor, ha minden K valós szám esetén létezik olyan δ(ε)>0 (ε-tól függő) szám, hogy minden esetben, amikor x az értelmezési tartomány eleme és 0 < c - x < δ(ε), | f(x) - A | < ε is teljesül.

Véges határérték

'f' függvény valós 'c' helyen vett határértéke a valós A szám – amit a következőképpen jelölünk –

$\lim _{x\to c}f(x)=A$

pontosan akkor, ha minden ε>0 esetén létezik olyan δ(ε)>0 (ε-tól függő) szám, melyre minden |x - c| < δ(ε) tulajdonságú értelmezési tartománybeli x valós szám esetén | f(x) - A | < ε.

Ez szemléletesen azt jelenti, hogy azáltal, hogy az argumentumot (x-et) elég közel viszem c-hez, tetszőlegesen közel tudom vinni a függvényértéket (f(x)-et) A-hoz.

A továbbiakban olvashatók a végtelennel kapcsolatos függvényhatárértékek definíciói. Ezek a fentiek alapján már egyszerűen „összerakhatóak”. A sok esetszétválasztás elkerülhető, ha a függvény határértékét a sorozat határértékét felhasználva definiáljuk, azonban bizonyos tételek bizonyításakor hasznosabb ezeket, a sorozat határértékétől független, úgy nevezett „epszilon–deltás” definíciókat felhasználni.

Végtelen határérték

f függvény pozitív végtelenben vett határértéke pozitív végtelen – amit a következőképpen jelölünk –

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty$

pontosan akkor, ha minden valós K szám esetén létezik olyan N(K) (K-tól függő) valós szám, melyre minden x > N(K) értelmezési tartománybeli elem esetén K < x.

Hasonlóan: f függvény pozitív végtelenben vett határértéke negatív végtelen – amit a következőképpen jelölünk –

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=-\infty$

pontosan akkor, ha minden valós k szám esetén létezik olyan N(k) (k-tól függő) valós szám, melyre minden x > N(k) értelmezési tartománybeli elem esetén x < k.

---

Pozitív végtelenben vett határérték

Először definiáljuk a határértéket pozitív végtelenben véve. Legyen f olyan függvény, amelynek az értelmezési tartománya felülről nem korlátos. (Azaz bármely valós M szám esetén létezik olyan értelmezési tartománybeli elem, ami nagyobb M-nél). Ugyanez jelekkel:

$\forall M\in \mathbb {R} :\exists x\in D_{f}:M<x$

Véges határérték

f függvény pozitív végtelenben vett határértéke a valós (azaz véges) A szám – amit a következőképpen jelölünk –

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=A$

pontosan akkor, ha minden ε>0 esetén létezik olyan N(ε) (ε-tól függő) valós szám, melyre minden x > N(ε) értelmezési tartománybeli elem esetén | f(x) - A | < ε.

Végtelen határérték

f függvény pozitív végtelenben vett határértéke pozitív végtelen – amit a következőképpen jelölünk –

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty$

pontosan akkor, ha minden valós K szám esetén létezik olyan N(K) (K-tól függő) valós szám, melyre minden x > N(K) értelmezési tartománybeli elem esetén K < x.

Hasonlóan: f függvény pozitív végtelenben vett határértéke negatív végtelen – amit a következőképpen jelölünk –

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=-\infty$

pontosan akkor, ha minden valós k szám esetén létezik olyan N(k) (k-tól függő) valós szám, melyre minden x > N(k) értelmezési tartománybeli elem esetén x < k.

Negatív végtelenben vett határérték

Most definiáljuk a határértéket negatív végtelenben véve. Ehhez legyen f olyan függvény, amelynek az értelmezési tartománya alulról nem korlátos. (Azaz bármely valós m szám esetén létezik olyan értelmezési tartománybeli elem, ami kisebb m-nél). Ugyanez jelekkel:

$\forall m\in \mathbb {R} :\exists x\in D_{f}:x<m$

Véges határérték

f függvény negatív végtelenben vett határértéke a valós (azaz véges) A szám – amit a következőképpen jelölünk –

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=A$

pontosan akkor, ha minden ε>0 esetén létezik olyan n(ε) (ε-tól függő) valós szám, melyre minden x < n(ε) értelmezési tartománybeli elem esetén | f(x) - A | < ε.

Végtelen határérték

f függvény negatív végtelenben vett határértéke pozitív végtelen – amit a következőképpen jelölünk –

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=+\infty$

pontosan akkor, ha minden valós K szám esetén létezik olyan n(K) (K-tól függő) valós szám, melyre minden x < n(K) értelmezési tartománybeli elem esetén k < x.

Hasonlóan: f függvény negatív végtelenben vett határértéke negatív végtelen – amit a következőképpen jelölünk –

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty$

pontosan akkor, ha minden valós k szám esetén létezik olyan n(k) (k-tól függő) valós szám, melyre minden x < n(k) értelmezési tartománybeli elem esetén x < k.

---

Véges pontban vett határérték

Feltéve, hogy f(x) valós függvény és c valós szám. A:

$\lim _{x\to c}f(x)=A$

kifejezés azt jelenti, hogy f(x) értéke tetszőlegesen közel kerül az A-hoz, ha az x elég közel van c-hez. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy „az f(x) határértéke az x tart c esetén A”. Megjegyezzük, hogy ez akkor is igaz lehet, ha f(c) $\neq$ A, sőt az f(x) függvénynek nem muszáj értelmezve lennie a c pontban.

Két példa következik a fentiek illusztrálására.

Vizsgáljuk meg $f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}$ határértékét, ha x tart 2-höz. Ebben az esetben az f(x) definiált a 2 helyen, és egyenlő az ottani 0,4 értékével:

f(1,9)	f(1,99)	f(1,999)	f(2)	f(2,001)	f(2,01)	f(2,1)
0,4121	0,4012	0,4001	$\Rightarrow$ 0,4 $\Leftarrow$	0,3998	0,3988	0,3882

Ha x közelít 3-hoz, akkor f(x) közelít 0,3-hez, azaz $\lim _{x\to 3}f(x)=0,3$. Ezekben az esetkeben, amikor $f(c)=\lim _{x\to c}f(x)$, azt mondjuk, hogy f folytonos az x = c helyen.

De nem minden függvény folytonos. Legyen például a g függvény az alábbi módon értelmezett:

$g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{x^{2}+1}},&{\mbox{ha }}x\neq 2\\0,&{\mbox{ha }}x=2\end{cases}}$

A g(x) határértéke x tart 2 esetén 0,4 (ahogy az f(x) esetén is), de $\lim _{x\to 2}g(x)\neq g(2)$; g nem folytonos x = 2 helyen.

Ábra a formális definícióhoz (c helyett a szerepel az ábrán)

Formális definíció

Legyen az $f$ függvény, mely értelmezve van a $c$ egy nyílt környezetében (esetleg c-ben nem) és A egy valós szám. A

$\lim _{x\to c}f(x)=A$

jelölés azt jelenti, hogy minden $\varepsilon \ >0$ érték esetén van olyan $\delta \ >0$, melyekre bármely $x$ esetén, ha $0<|x-c|<\delta \$, akkor $|f(x)-A|<\varepsilon \$.

Pontosabb formális definíció a konvergens sorozatok definíciójából adódik.

Függvényhatárérték a végtelenben

Van, amikor nem csak a véges helyen vett határértéket kell vizsgálnunk, hanem, hogy a függvény hogyan viselkedik, amikor x tart a pozitív vagy negatív végtelenhez.

Példaként vizsgáljuk az $f(x)={\frac {2x}{x+1}}$ függvényt.

• f(100) = 1,9802
• f(1000) = 1,9980
• f(10000) = 1,9998

Ahogy x nagyon naggyá válik, f(x) közelít 2-höz. Ebben az esetben,

$\lim _{x\to \infty }f(x)=2$

Formálisan, a végtelenben vett határérték definíciója

$\lim _{x\to \infty }f(x)=c$ pontosan akkor, ha minden ε > 0 esetén létezik olyan K valós szám, melyre $|f(x)-c|<\epsilon$ teljesül, ha $x>K$

A mínusz végtelenben vett határérték hasonlóan definiálható.

Kategória:Analízis