Matematikai inga

Inga

Matematikai inga

A matematikai inga egy elhanyagolható tömegű $l$ hosszúságú fonalra függesztett, $m$ tömegű pontszerű testből áll, amelyre szabad erőként csak a nehézségi erő hat. Az egyensúlyi helyzetéből kitérített inga csillapítatlan periodikus mozgást végez. Ennek az idealizált modellnek a gyakorlati megvalósítása egy vékony fonálra felfüggesztett fémgolyó (egy fonálinga), ami az egyensúlyi helyzetéből kitérítve, függőleges síkban egy körív mentén a két szélső helyzet között közelítőleg csillapítatlanul leng.

A matematikai inga lengése. A kék $\mathbf {v}$ vektor jelzi a pillanatnyi sebességet, a piros $\mathbf {a}$ vektor a pillanatnyi gyorsulást, $\theta$ pedig a kitérés szögét.

A mozgás egyenletei

A matematikai inga mozgását a dinamika alapegyenletéből lehet meghatározni. A nehézségi erőn kívül hat még a fonálban ébredő erő (F), ami mindig a fonál irányában hat, azaz a mozgás során mindig sugárirányú. Ez a fonálerő és a nehézségi erőnek a sugárirányú komponense hozza létre a körpályán való mozgáshoz a centripetális erőt. Erre a következőt írhatjuk fel:

$F-mg\cos \theta =m{\frac {v^{2}}{l}}$,

ahol: $F$ a fonálban ébredő erő, $m$ a test tömege, $g$ a földi nehézségi gyorsulás, $\theta$ a fonál függőlegessel bezárt szöge, $l$ a fonál hossza, $v$ a lengést végző tömegpont pillanatnyi sebessége.

A fonálban ébredő kényszererő nagysága a mozgás során tehát változik. Legnagyobb az értéke a pálya legalsó pontján, amikor a fonál függőleges, és a sebesség a legnagyobb. A szélső helyzetben a legkisebb.

A nehézségi erő érintő irányú komponense a körpálya menti gyorsulást hozza létre, és így meghatározza az inga helyzetét, a fonál függőlegessel bezárt szögét az idő függvényében. Erre a következőt írhatjuk fel:

$ma_{t}=-mg\sin \theta$,

ahol $a_{t}$ az érintő (tangenciális) irányú gyorsulás.

A tangenciális gyorsulás és a szöggyorsulás ($\beta$) kapcsolata:

$a_{t}=\beta l$.

A szöggyorsulás a szögkitérés második deriváltja:

$\beta ={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}$.

Így a szögkitérésre a következő másodrendű differenciálegyenletet kapjuk:

$ml{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mg\sin \theta$.

A tömeggel egyszerűsítve, átrendezés után:

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0$.

Kis kitérések esetén a szinuszfüggvényt közelíteni lehet magával a szöggel:

$\sin \theta \approx \theta$.

Ezt a közelítést alkalmazva kapjuk:

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\theta =0$.

Bevezetve a következő jelölést:

$\omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}$,

az egyenlet a következő alakra hozható: ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-\omega ^{2}\theta$.

Ez az egyenlet a harmonikus rezgőmozgást végző test mozgásegyenlete. A matematikai inga mozgása tehát kis kitéréseknél $\omega$ körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgásnak tekinthető. A lengés periódusideje:

$T={\frac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$.

Az inga helyzetét leíró időfüggvény, a szögkitérés az időfüggvényében a következő alakú:

$\theta =\phi _{max}\sin(\omega t+\delta )$,

ahol $\phi _{max}$ a szögelfordulás amplitúdója (a legszélső helyzethez tartozó szög) és $\delta$ a kezdőfázis (a kezdeti nulla időponthoz tartozó helyzetet jellemző szögkitérés). A $\phi _{max}$ szögre kitérített, majd magára hagyott inga esetében $\delta =\pi /2$, és így $\theta =\phi _{max}\cos(\omega t)$

Az inga mozgásának közelítő megoldásából látszik, hogy kis kitérési szögek esetén a lengések frekvenciája nem függ az inga tömegétől és a lengések amplitúdójától, csak az inga hosszától és a nehézségi gyorsulástól. A közelítés megfelelő (1%-os relatív hiba alatti), ha a kilengések 9,9 foknál kisebbek, és még elfogadható (maximum 2,5%-os bizonytalanságú), ha a kilengések maximum 15 fokosak.

Külső hivatkozások

• Interaktív inga
• Fizikakönyv.hu – Az inga