Tizenkétszög

Tizenkétszög
Általános tizenkétszög
Élek, csúcsok száma	12
Átlók száma	54
Belső szögek összege	1800°
Szabályos tizenkétszög
Schläfli-szimbólum	{12}
Szimmetriacsoport	diédercsoport (D12)
Terület: egységnyi oldalra	11,196152
Belső szög	150°

A geometriában a tizenkétszög egy tizenkétoldalú sokszög.

A szabályos sokszögek szögeire ismert képlet n=12 esetben a következőt adja:

$\alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {10}{12}}\cdot 180^{\circ }=150^{\circ }$

tehát a szabályos tizenkétszög belső szögei 150 fokosak.

A szabályos tizenkétszög szerkesztése

A szabályos tizenkétszög szerkeszthető körzővel és vonalzóval.

Az alábbi animáció egy 23 lépéses szerkesztést mutat be. Vegyük észre, hogy a körzőnyílás nem változik 8. és a 11. lépés között.

A tizenkétszög szerkesztése

Terület

A szabályos sokszögek területére ismert képlet a oldalhosszra n=12 esetben:

$A={\frac {n}{4}}a^{2}{\text{ctg}}{\cfrac {\pi }{n}}=3a^{2}{\text{ctg}}{\cfrac {\pi }{12}}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 11{,}19615242a^{2}$

ami a köré írt kör sugarának (R) függvényében a következőképpen alakul n=12 esetben:

$A=n\cdot R^{2}\cdot \sin {\pi \over n}\cdot \cos {\pi \over n}=12R^{2}\cdot \sin {\pi \over 12}\cdot \cos {\pi \over 12}=6R^{2}\sin {\pi \over 6}=3R^{2}$

a beírt kör sugarának (r) függvényeként pedig így:

$A=n\cdot r^{2}\cdot {\hbox{tg}}{\pi \over n}=12\cdot r^{2}\cdot {\hbox{tg}}{\pi \over 12}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}\approx 3{,}2153903r^{2}$

A sík lefedése (csempézés)

Szabályos tizenkét szögeket használnak fel az alábbi periodikus csempézések:

Felhasználása

• Az ausztrál 50 centes, a fidzsi-szigeteki 50 centes, a tongani 50 seniti és a salamon-szigeteki 50 centes érmék szabályos tizenkétszög alakúak. A horvát kuna 25-ös érméje szintén. 2005 júliusig a román 5000 lejes érme szintén tizenkétszögletű volt. A kanadai penny érme is tizenkétszög alakú volt 1982 és 1996 között valamint a dél-vietnami 20 Ðong érme 1975-ig. A zambiai 50 ngwee (1992-ig) és a malawi 50 tambala (1995-ig) tizenkétszögletű volt. A mexikói 20 centes érme is tizenkétszög.

Lásd még

• Dodekaéder

Külső hivatkozások

• Dodecagon and Kurschak's Tile and Theorem by Antonio Gutierrez from "Geometry Step by Step from the Land of the Incas"
• Weisstein, Eric W.: Dodecagon (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Kürschak's Tile and Theorem
• A tizenkétszög tulajdonságia animációval