Divisão

 Nota: Para outros significados, veja Divisão (desambiguação).

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Ilustração de 20 maçãs dividas igualmente em 4 grupos, totalizando 5 maças em cada grupo.

Divisão é a operação matemática inversa da multiplicação. O ato de dividir por algum elemento de um conjunto só faz sentido quando a multiplicação por aquele elemento for uma função bijetora.

No anel dos números inteiros a hipótese da bijetividade não é satisfeita para o zero, assim, não se define divisão por zero.

Propriedades importantes

As propriedades da divisão são herdadas, via inversão, da multiplicação. Não existe, entretanto, a propriedade de fechamento no conjunto dos números reais, uma vez que a divisão por zero não produz como resultado um número real.

Nos números inteiros

Os números inteiros não formam um corpo, portanto a divisão (como foi definido) só faz sentido quando o número que vai ser dividido (dividendo) é um múltiplo inteiro do número pelo qual se vai dividir (divisor). Para tratar dos casos em que o dividendo não é um múltiplo do divisor é necessário definir quociente e resto.

Se a e b são dois números inteiros positivos (com $b\geq a$), o quociente da divisão de a por b é o maior número inteiro q tal que $bq\leq a$. O resto da divisão de a por b com quociente q é o número inteiro r tal que $r=a-bq.$

A noção de resto no anel dos números inteiros está intimamente conectada com a noção de congruência.

Nos números racionais, reais e em outros corpos

Por se tratarem de corpos, a divisão nesse caso fica reduzida a multiplicação pelo inverso.

Por um exemplo, para dividirmos um número racional $q_{1}={\frac {a}{b}}$ por $q_{2}={\frac {c}{d}}$ (com as hipóteses de que a,b,c e d sejam inteiros e que b,c e d sejam diferentes de zero) devemos prosseguir da seguinte forma

${\frac {q_{1}}{q_{2}}}=q_{1}\ q_{2}^{-1}={\frac {a}{b}}\ {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}$

Em $\mathbb {Z} _{13}$ (grupo multiplicativo dos inteiros módulo 13), que também é um corpo, a divisão de 7 por 5 se daria da seguinte forma:

${\frac {7}{5}}=7.5^{-1}=7.8=4$

Divisão de polinômios

Pode-se definir a operação de divisão para polinômios. Então, como no caso dos inteiros, tem-se um resto. Veja divisão polinomial.

Em estruturas mais gerais

A divisão é possível em estruturas que não são dotadas dos axiomas de corpo. Em analogia ao caso dos números inteiros, tenta-se encontrar um quociente e um resto. Isso nem sempre pode ser feito com o auxílio da relação de ordem, pois a mesma nem sempre está presente. Quando pode-se definir uma função conveniente, trabalhamos com domínios euclidianos.

Representação

Sejam a e b elementos do conjunto dos números inteiros, e b diferente de zero. Podemos representar uma divisão da seguinte forma:

• Como uma fração: ${\frac {a}{b}},$ (utilizando uma barra horizontal entre os dois números);
• Através de uma barra inclinada: ${}^{a}\!{/}\!{}_{b}$. (É utilizado para fazer operações em computadores);
• Com a simbologia usual da divisão, utilizando dois pontos e uma barra horizontal entre eles: $a\div b$;
• Utilizando dois pontos entre os dois números na horizontal: $a:b$;
• Usando a notação do inverso multiplicativo: $ab^{-1}$.

Divisão de números consecutivos

Seja o número impar ${\textstyle a>1}$ e o seu consecutivo ${\textstyle a+1}$ .

Seja a divisão $a/(a+1)=s$. Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir :

a - O quociente $s$ é menor do que $1$ e tende para $1$ com o aumento de $a$, então $\lim _{a\to \infty }\rightarrow s=1$

b - Na imensa maioria das proposições o quociente $s$ apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal.

Seja a divisão $(a+1)/a=s'$. Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir:

a - O quociente $s'$ é maior do que $1$ e tende para $1$ com o aumento de $a$, então $\lim _{a\to \infty }\rightarrow s'=1$

b - Na imensa maioria das proposições o quociente $s'$ apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal.

Entretanto

Em nenhuma das proposições para $s,s'$ ocorre com estes números consecutivos, de o quociente apresentar em ambas proposições os dois quocientes com números finitos de algarismos após a virgula decimal.

Ver também

• Critérios de divisibilidade
• Divisão por zero
• Multiplicação
• Anel (matemática)
• Corpo (matemática)
• Algoritmo de Euclides

Referências

• Vianna, João José Luiz (1914). Elementos de Arithmetica 15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves 
• Serrasqueiro, José Adelino (1906). Tratado de Algebra Elementar 9 ed. Largo da Sé Velha: Livraria Central de J. Diogo Pires i

Ligações externas

• Wikcionário

• Explicando o Algoritmo da Divisão