Hatszög

Hatszög
Általános hatszög
Élek, csúcsok száma	6
Átlók száma	9
Belső szögek összege	720°
Szabályos hatszög
Schläfli-szimbólum	{6}
Szimmetriacsoport	D6 diédercsoport
Terület: egységnyi oldalra	2,598076
Belső szög	120°

A geometriában hatszög (hexagon) az olyan sokszög, amelynek hat oldala és hat csúcsa van. Minden hatszögre igaz, hogy szögeinek összege 720°.

Szabályos hatszög

Szabályos hatszög

A szabályos sokszögek szögeire ismert az alábbi képlet:

$\alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }$

amely n=6 esetben

$\alpha ={\frac {4}{6}}\cdot 180^{\circ }=120^{\circ }$

Területe

Ha a jelöli az oldalak hosszát, akkor a szabályos hatszög területe a következőképpen határozható meg:

$T={\frac {3}{2}}a^{2}{\sqrt {3}}.$

Az oldalhossz és a sugarak viszonya

A szabályos hatszög oldalhossza megegyezik a köré írható kör sugarával.

A szabályos hatszög oldalhossza és a beírható kör sugara között az alábbi összefüggés mutatható meg:

$r_{i}={\frac {a}{2}}{\sqrt {3}}.$

Átlók

A szabályos hatszögnek kétféle átlója van: amelyik 2, illetve amelyik 3 oldalt fog át. Ezek hosszai rendre a következők:

$d_{2}={\sqrt {3}}a\qquad \qquad d_{3}=2a$

A szabályos hatszögben az összes három oldalt átfogó átlót meghúzva kapunk 6 darab egyenlő oldalú háromszöget (minden szögük 60 fokos). Ebből következik, hogy a szabályos hatszög oldalhossza megegyezik a köré írható kör sugarával.

A sík lefedése

A szabályos hatszög azon szabályos sokszögek közé tartozik, amelyekkel lefedhető a sík. Ezt a tényt használják ki a méhek is:

• 
  A sík lefedhető szabályos hatszögekkel
• 
  A méhek ki is használják ezt a tényt

A szabályos hatszög megszerkeszthető körzővel és vonalzóval. Az animáció az Euklidész: Elemek IV. könyvéből vett módszert mutatja.

A szabályos hatszög belső szögei 120 fokosak; a hatszög belső szögeinek összege 720 fok. A szabályos hatszög tengelyesen szimmetrikus: hat szimmetriatengelye van. Vele ugyanúgy hézagmentesen lefedhető a sík, mint a négyzettel, ezért használható a sík tesszerálásrára.

A méhek szabályos hatszög alakú sejteket építenek, mert így jól ki tudják használni a helyet, így hatékonyabban használják fel az építőanyagot.

A szabályos háromszöghálózatok csúcsainak Voronoj-cellái szabályos hatszögek.

Az a oldalhosszú szabályos hatszög területe

$T={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\simeq 2.598076211a^{2}.$

kerülete 6a, maximális átmérője 2a, minimális átmérője $a{\sqrt {3}}\,\!$.

Nincs olyan szabályos test, amit hatszögek határolnak, az Euler-féle poliédertétel miatt nincs (konvex) poliéder, amit csupa hatszöglap határol. A félig szabályos testek közül hatszöglapjai a csonkolt tetraédernek, a csonkolt oktaédernek, a csonkolt ikozaédernek, a csonkolt kuboktaédernek, és a csonkolt ikozidodekaédernek vannak.

Hatszögek a természetben és az ember alkotta világban

• 
  Lépek
• 
  Teknőspáncél
• 
  Hatszög alakú felhőzet a Szaturnusz északi sarkán. Észlelte a Voyager–1, megerősítette a Cassini 2006-ban. [1] Archiválva 2010. február 16-i dátummal a Wayback Machine-ben [2] Archiválva 2010. szeptember 27-i dátummal a Wayback Machine-ben [3]
• 
  Hópehely részlete
• 
  Természetes bazaltoszlopok az észak-írországi Óriások útjáról; a nagy tömegű bazaltnak lassan kellett lehűlnie, hogy kialakulhasson a hatszög alakú mintázat
• 
  Fort Jefferson madártávlatból a Dry Tortugas Nemzeti Parkban
• 
  A James Webb Space Telescope tükre 18 hatszög alakú részből áll

További információk

A Wikimédia Commons tartalmaz Hatszög témájú médiaállományokat.

• A hatszög definíciója és tulajdonságai interaktív animációval
• A Cassini bizarr képei a Szaturnuszról Archiválva 2010. szeptember 27-i dátummal a Wayback Machine-ben
• A Szaturnusz különös hatszöge Archiválva 2010. február 16-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Hatszög alakú képződmény a Szaturnusz északi sarkán
• "Bizarr hatszög a Szaturnuszon" Space.com (2007.03.27.)