Wedderburn-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Wedderburn tétele az absztrakt algebrai tételek közé tartozik. Azt állítja, hogy minden véges ferdetest test, vagyis a szorzás kommutatív. Tehát a végességből következik a kommutativitás. Ebből azonnal adódik, hogy egy olyan ferdetest, ami nem test, végtelen sok elemet tartalmaz; ilyen például a kvaterniók ferdeteste.

A tételt először Joseph Wedderburn[1] bizonyította be 1905-ben. Azóta más matematikusok újabb bizonyításokat is találtak; köztük talán Ernst Witt[2] alábbi gondolatmenete a legismertebb.[3]

Bizonyítás (Witt, 1931)[szerkesztés]

Tétel: Minden véges ferdetest kommutatív.

Bizonyítás: Legyen véges ferdetest. Tekintsük centrumát; ez test. Jelöljük ezt a testet -fel, elemszámát q-val. n dimenziós vektortér F fölött egy n természetes számra.

elemszáma ezzel qn, ezért multiplikatív csoportja qn-1 elemű (nem tartalmazza a nullelemet). Megmutatható, hogy ennek centruma F multiplikatív csoportja. Legyen

Vegyük a centralizátorát. Ez azokból az elemekből áll, amikkel a felcserélhető. Ez részferdetest -ben; elemszáma qd, ahol d osztója n-nek. Ennek multiplikatív csoportja megegyezik a multiplikatív csoportjában vett centralizátorral.

multiplikatív csoportjának osztályegyenletével

Az n-edik körosztási polinom osztója az hányadosnak minden d < n osztóra.

Ebből ahol Ez csak úgy lehet, hogy n = 1, tehát

Források[szerkesztés]

  1. J. H. M. Wedderburn: A theorem on finite algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 6 (1905), 349-352.
  2. Ernst Witt Über die Kommutatitivät endlicher Schiefkörper Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg vol. 8 p413 1931
  3. Magyarul és részletesen ld. M. Aigner – G. M. Ziegler: Bizonyítások a Könyvből. Typotex, Bp., 2004; ch. 5., p. 25-28