Wedderburn–Artin-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Wedderburn–Artin-struktúratétel szócikkből átirányítva)
Jump to navigation Jump to search

A Wedderburn–Artin-tétel vagy Wedderburn–Artin-struktúratétel az Artin-gyűrűk struktúrájáról szól. Ha R Artin, és radikálja , akkor az faktorgyűrű véges sok, ferdetest feletti mátrixgyűrű szorzata.

Speciálisan, ha R féligegyszerű, akkor R ferdetest feletti mátrixgyűrűk szorzata, és ez a felbontás lényegében egyértelmű. Ezt is szokták Wedderburn-Artin struktúratételnek nevezni.

Definíciók[szerkesztés]

Az R gyűrű Artin-gyűrű, ha ideáljainak minden végtelen hosszú csökkenő lánca stabilizálódik. Másként: nincs ideáloknak végtelen hosszú szigorúan csökkenő lánca.

Az R gyűrű Jacobson-radikálja az R-beli maximális balideálok metszete. Röviden szokták radikálnak is nevezni. Ebben éppen azok az x elemek vannak, amikre 1-rx balinvertálható minden r gyűrűelemre. Ez valójában szimmetrikus: jobbról definiálva is ugyanahhoz a radikálhoz jutunk. Az 1-xr jobbinvertálhatósága is teljesül minden r gyűrűelemre.

Egy algebra vagy gyűrű féligegyszerű, ha Jacobson-radikálja triviális, vagyis csak a nullelemből áll.

Példák[szerkesztés]

  • Minden fölötti véges dimenziós algebra mátrixgyűrű vagy fölött.
  • Minden véges dimenziós fölötti egyszerű algebra mátrixgyűrű fölött.

Források[szerkesztés]