Vandermonde-determináns

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Vandermonde-determináns egy speciális, a lineáris algebrában és a matematika más ágaiban is gyakran használt nevezetes determináns.

Alakja:

A felírásból rögtön látszik, hogy változóknak csaknem – előjel erejéig – szimmetrikus polinomja. Ez a kis hiányosság a szimmetriában adja voltaképp a Vandermonde-determináns diszkrét báját a csoportelméletben, mert változóknak pontosan azok a páros permutációi, amikkel permutálva a Vandermonde-determináns argumentumait az fixen marad.

Kiszámítása[szerkesztés]

Értéke szorzattá alakítható:

Bizonyítás[szerkesztés]

Indukcióval[szerkesztés]

Ezt az azonosságot n-re vonatkozó teljes indukcióval igazoljuk. Az n=2 eset

nyilvánvaló.

Tegyük fel, hogy n-1-re tudjuk az állítást és adott a

determináns.

Az első oszlopot a további oszlopokból kivonva

adódik.

E determinánst az első sor szerint kifejtve kapjuk, hogy értéke megegyezik a következő determináns értékével:

adódik.

Az első oszlopból -et, a másodikból -et, … sorra kiemelve az alábbi determináns marad vissza:

Az utolsó, utolsó előtti,… sorból egymásután levonva az előző sor -szeresét -et kapjuk azaz

és indukciós feltevésünkkel készen vagyunk.

Felhasználva, hogy antiszimmetrikus polinom[szerkesztés]

Könnyen látható, hogy -nek mint polinomjának gyöke , hiszen beírva a determináns első két sora lineárisan összefügg. Így kiemelhető, és ezért a sajátos szimmetriából adódóan is minden különböző i,j-re, de tekintve, hogy a polinomjainak a gyűrűjében az alakú polinomok, ahol , páronként relatív prímek, ezek szorzata is kiemelhető V-ből. Mivel ennek a szorzatnak a foka , azaz éppen V foka, egymástól csak konstans szorzóban térnek el. Hogy ezt a konstansszorzót megállapítsuk, elegendő ugyanannak a tagnak az együtthatóját megvizsgálnunk: Mindkét polinomban könnyen meghatározhatjuk együtthatóját, ami történetesen mindkét ízben egy, így kapjuk, hogy:

. Q. E. D.

Források[szerkesztés]

  • Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
  • Fuchs László: Bevezetés az algebrába és a számelméletbe, Kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest 1971.
  • A. G. Kuros: Felsőbb algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975. 55. old.