Valószínűségi áram

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A kvantummechanikában a valószínűségi áram (néha valószínűségi fluxus) a valószínűségi sűrűség áramlását írja le. Ha az ember a valószínűségi sűrűséget egy folyadéknak képzeli, akkor a valószínűségi áram ezen folyadék áramlásának erőssége (sűrűség szorozva a sebességgel).

Definíció[szerkesztés]

A valószínűségi áramot a következőképpen definiáljuk helybázison:

ami kielégíti a kontinuitási egyenletet:

ahol a valószínűségi sűrűség definíciója:

.

A divergenciatétel miatt a kontinuitási egyenlet a következő integrálegyenlettel ekvivalens:

ahol tetszőleges térfogat és a határfelülete. Ez a kvantummechanika valószínűség-megmaradásának törvénye, ami azt fejezi ki, hogy a részecske megtalálási valószínűsége a térfogatban úgy növekszik, ahogy a valószínűség beáramlik.

Példák[szerkesztés]

Síkhullám[szerkesztés]

A háromdimenzióbeli síkhullám

valószínűségi árama:

ami nem más, mint a részecske impulzusa

osztva a tömegével, azaz a "sebessége" (amennyibe a kvantummechanikai részecskeének van egyáltalán sebessége). Vegyük észre, hogy a valószínűségi áram nem nulla annak ellenére, hogy a síkhullámok stacionárius állapotok és így

mindenhol. Ez mutatja, hogy a részecske "mozgásban" lehet akkor is, ha a térbeli valószínűségi sűrűségének nincs explicit időfüggése.

Részecske egy dobozban[szerkesztés]

Tekintsük egy dimenzióban egy hosszúságú dobozban levő részecske energia sajátállapotait:

A kapcsolódó valószínűségi áram:

mivel

A kontinuitási egyenlet származtatása[szerkesztés]

Vezessük le a kontinuitási egyenletet a valószínűségi áram definíciójából és a kvantummechanika elveiből. Tegyük fel, hogy egy részecske hullámfüggvénye helybázison (azaz , , z függvénye). Ekkor

annak a valószínűsége hogy a részecske helymérése V-n belüli értéket ad. Ennek időderiváltja

ahol alakjáról feltesszük, hogy nem függ az időtől. Vegyük az időfüggő Schrödinger-egyenletet

és fejezzük ki belőle időderiváltját

Ezt helyettesítsük vissza az előző egyenletbe:

.

Használjuk ki a következő azonosságot:

és mivel az első és a harmadik tag kiejtik egymást:

Ha most vesszük eredeti kifejezését is és észrevesszük, hogy a divergenciaoperátor argumentuma éppen , akkor azt kapjuk, hogy:

ami a kontinuitási egyenlet integrálalakja. A differenciálalak abból következik, hogy ez az egyenlet minden térfogatra igaz, és ezért az integrandusnak mindenhol el kell tűnnie:

További információk[szerkesztés]