Véges térfogat módszere

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A véges térfogat módszere (finite-volume method (FVM)) módszer parciális differenciálegyenletek algebrai alakban való kiértékelésére és ábrázolására. Hasonló a véges differencia módszeréhez vagy végeselem módszeréhez az elemeket egy diszkrét helyen hálós térben számoljuk. A véges térfogat utal egy kis térfogatra amely minden hálópontot körülvesz. Ez a módszer könnyen használható strukturálatlan anyagok esetén.

1D példa[szerkesztés]

Vegyük a következő egyszerű 1D advekciós parciális differenciál egyenletet.

Itt, jelenti az állapotváltozót és jelenti a fluxusát vagy áramlását a -nak. Természetesen, a pozitív jelenti a jobb oldali áramlást míg a negatív jelenti a bal oldali áramlást. Ha feltételezzük, hogy az (1) egyenlet egy állandó területű áramló közeg akkor tudjuk felosztani az térbeli területtel véges térfogatokra vagy cellákra indexű cellaközpontokkal. Bizonyos indexű cellák esetében meg tudjuk határozni a térfogat szerinti átlagos értékét a -nak a időpillanatba és az térfogatelemen, mint

és a időpillanatba mint,

ahol és jelentik az alsó és felső felületét vagy az éleit a cellának.

Ha integráljuk az (1) egyenletet idő szerint akkor kapjuk:

ahol .

Ahhoz, hogy megkapjuk az átlag térfogatot a a időpillanatban, integráljuk a a cellatérfogaton és osszuk az eredményt , i.e.

Feltételezzük, hogy jól viselkedik és meg tudjuk cserélni az integrálás sorrendjét. Továbbá, az áramlás merőleges a sejtelemre. Most, amíg egy dimenziójú az , tudjuk alkalmazni a divergenciatételt, azaz és helyettesítjük a térfogati integrált az értékeinek divergenciájával a (élek és ) cella felületén úgy hogy a véges térfogat:

ahol .

Tehát származtathatunk egy fél diszkrét numerikus rendszert a fenti cellaközpontú problémát -vel indexelve és a cella élének fluxusát indexelve, differenciálva a (6) adott időben kapjuk:

ahol az élek fluxusa, , rekonstruálható a cella átlagok inter- vagy extrapolációjával. A (7) egyenlet egzakt a térfogatátlagot tekintve; deriválása során nem használtunk approximációt.

Általános megmaradási tétel[szerkesztés]

Az általános megmaradási tételt a következő parciális differenciálegyenletként is tekinthetjük,

Itt, az jelképezi az állapotvektor és jelképezi a megfelelő fluxus tenzort. Megint fel tudjuk osztani a térbeli domíniumot véges térfogatelemekre vagy cellákra. Bizonyos cellákra, elvégezhetjük a térfogat integrálást a cella teljes térfogatára, , amiből kapjuk:

Az első kifejezés integrálásával megkapjuk az átlag térfogatot és alkalmazzuk a divergencia tételét a második kifejezésre, így a hozam:

ahol jelképezi a teljes felületét a cella területnek és egy egységvektor normálisa a felületre és kifele mutat. Tehát végül is képesek vagyunk megmutatni egy általános ekvivalens eredményt a (8),

Ismét,az élek fluxusainak értékei rekonstruálhatók a cellák átlagának inter-, extrapolációjával. Az aktuális numerikus rendszer függ az aktuális geometriai problémától és az anyag szerkezetétől.

A véges térfogat rendszerek konzervatívak mint a cella átlagok változása az élek fluxusán keresztül. Más szavakkal, hogy egy cella eltűnik mások megnőnek.

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Finite volume method című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Források[szerkesztés]

  • Eymard, R. Gallouët, T. R. Herbin, R. (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
  • LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
  • Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.

További információk[szerkesztés]