Theorema egregium

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Theorema Egregium (magyarul: „Nevezetes Tétel”) a differenciálgeometria fontos tétele, amely kimondja, hogy egy felület Gauss-görbülete csak a felület első alapmennyiségeitől függ. Más szavakkal: a felület Gauss-görbületét meghatározza a felület metrikája (azaz, hogy a felületen hogyan mérünk szöget illetve távolságot), és ez független a felület térbeli alakjától (amit a második alapmennyiségek írnak le). Ez messze nem nyilvánvaló, hiszen a felület főnormálgörbületei függenek a második alapmennyiségektől. Mivel az első alapmennyiségek izometriával szemben invariánsak, ezért a tétel értelmében a Gauss-görbület is.

Bizonyítás[szerkesztés]

A Theorema Egregiumot először Carl Friedrich Gauss bizonyította. Az alább közölt bizonyítás Szőkefalvi-Nagy Gyula könyvében található. Legyen a felület paraméterezése . Ekkor a szokásos jelölésekkel a felület Gauss-görbülete:

.

Ezek szerint elég lenne belátnunk, hogy az mennyiség kifejezhető az függvényekkel és azok parciális deriváltjaival.

A Gauss-féle egyenletek szerint:

ahol a együtthatók a Christoffel-szimbólumok, pedig a felület normálvektora.

Ebből

ahol csak az első alapmennyiségektől és azok parciális deriváltjaitól függ, hiszen a Christoffel-szimbólumok is csak ezektől függenek. Most fejezzük ki az mennyiséget parciális deriváltjaival. Az első alapmennyiségeket definiáló egyenleteket deriválva kapjuk:

Ebből

Ezt összevetve az előbbi eredményünkkel, kapjuk, hogy

Mivel és csak az első alapmennyiségektől és azok parciális deriváltjaitól függ, ezért is. Ezt akartuk belátni.

Egyszerű alkalmazások[szerkesztés]

Egy R sugarú gömbfelület és egy sík Gauss-görbülete is állandó, illetve . Így a tétel szerint a két felület nem képezhető izometrikusan (torzításmentesen) egymásra. Ennek nyilvánvaló a térképészeti jelentősége: nem lehet torzításmentes térképet készíteni.

Hivatkozás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Theorema Egregium című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Forrás[szerkesztés]

Szőkefalvi-Nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péter: Differenciálgeometria, ISBN 963-10-2925-5