Teichmüller–Tukey-lemma

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A Teichmüller–Tukey-lemma a halmazelmélet egyik tétele, ami azt állítja, hogy ha T véges jellegű tulajdonság, akkor tetszőleges halmaz T tulajdonságú halmazai között van maximális. Itt véges jellegű tulajdonságon azt értjük, hogy az adott tulajdonság akkor és csak akkor teljesül egy halmazra, ha annak minden véges részhalmazára teljesül.

Lemma[szerkesztés]

Legyen egy tetszőleges halmaz valamely részhalmazaiból álló halmazrendszer, amire teljesül, hogy pontosan akkor, ha minden véges részhalmaza eleme -nak. Ekkor minden esetén van maximális elem.

Bizonyítás[szerkesztés]

Az állítást a Zorn-lemma felhasználásával fogjuk bizonyítani. Vegyük a részbenrendezett halmazt, ahol az -t (részhalmazként) tartalmazó -beli halmazokból áll. Ez nemüres, mert például eleme. Azt kell belátnunk, hogy minden -beli láncnak van felső korlátja. Legyen tehát lánc. Vegyük az összes -beli halmaz egyesítését. Elég belátnunk, hogy , hiszen nyilvánvalóan tartalmazza minden elemét. végességi tulajdonsága miatt elég látni, hogy minden véges része -beli. Legyen tehát . definíciója miatt vannak -beli halmazok, hogy . Mivel lánc, ezek valamelyike, mondjuk tartalmazza a többit. De ekkor , azaz véges részhalmaza egy -beli halmaznak, tehát végességi tulajdonsága miatt maga is -beli.

Alkalmazásai[szerkesztés]

A Teichmüller–Tukey-lemmát akkor a legcélszerűbb alkalmazni, amikor egy könnyen láthatóan véges jellegű tulajdonságot vizsgálunk. Így azonnal kapjuk, hogy minden vektortérben van bázis (maximális független vektorhalmaz), minden gráfnak van feszítő erdője, minden testben van transzcendencia-bázis (maximális algebrailag független részhalmaz), illetve hasonló egyszerű következményként adódik a Hausdorff–Birkhoff-tétel is.

Ekvivalens állítások[szerkesztés]

A Teichmüller–Tukey-lemma ekvivalens a következő állításokkal:

Története[szerkesztés]

Ezt a tételt először Teichmüller publikálta.

Hivatkozások[szerkesztés]

  • Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet, Tankönyvkiadó, 1983.
  • Rédei, László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
  • Teichmüller, O.: Braucht der Algebraiker das Auswahlaxiom?, Deutsche Math. 4. 1939
  • Tukey, J. W.: Convergence and uniformity in topology, Annals of Math. Studies, 1940