Szuperbővelkedő számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Szuperbővelkedő szám szócikkből átirányítva)

A számelméletben a szuperbővelkedő szám (superabundant number, SA) speciális tulajdonságú természetes szám. Az erősen bővelkedő számoknál szigorúbb feltételt megszabva, egy n természetes szám akkor szuperbővelkedő, ha minden m < n-re igaz, hogy

,

ahol σ az osztóösszeg-függvényt jelöli. Az első néhány szuperbővelkedő szám az 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, ... (A004394 sorozat az OEIS-ben). A szuperbővelkedő számokat Alaoglu és Erdős definiálta,[1] akik nem voltak tudatában a Rámánudzsan 1915-ös, "Highly Composite Numbers" című értekezéséből kihagyott oldalaknak, ahol Rámánudzsan az erősen összetett számok általánosításaként lényegében a szuperbővelkedő számokat is definiálta. A kihagyott oldalak végül 1997-ben, a Ramanujan Journal 1 (1997), 119–153 oldalán jelentek meg.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Alaoglu és Erdős 1944-ben bizonyították,[1] hogy ha n szuperbővelkedő, akkor léteznek olyan k illetve ai, a2, ..., ak egész számok, melyekre

ahol pi az i-edik prímszám és

Más szavakkal, ha n szuperbővelkedő, akkor prímtényezős felbontásában nem növekedhetnek a kitevők (a nagyobb prímekhez tartozó kitevők sohasem nagyobbak, mint a kisebb prímekhez tartozók) és -ig az összes prímszám osztója n-nek. Természetesen ebből az is következik, hogy (az első kivételével) minden szuperbővelkedő szám páros, és a k-adik prímoriális többszöröse. Ahogy az erősen összetett számoknál is igaz volt, az utolsó ak kitevő 1-gyel egyenlő, a 4 és a 36 kivételével.

A szuperbővelkedő számok és az erősen összetett számok között vannak átfedések, főleg a kisebb számoknál – ugyanakkor nem minden szuperbővelkedő szám erősen összetett. Valójában a végtelen sok szuperbővelkedő és erősen összetett szám között csak 449 egyezés található. Például a (legkisebb ilyen tulajdonságú) 7560 erősen összetett, de nem szuperbővelkedő; a (legkisebb ilyen tulajdonságú) 1 163 962 800 szuperbővelkedő, de nem erősen összetett.[2]

Minden szuperbővelkedő szám egyben erősen bővelkedő szám is.

Nem minden szuperbővelkedő szám Harshad-szám. Az első kivétel a 105. szuperbővelkedő szám, a 149 602 080 797 769 600. A számjegyek összege 81, ami nem osztója ennek a számnak.

A szuperbővelkedő számok a Riemann-hipotézissel is összekapcsolódnak, továbbá a Robin-tétellel, ami szerint a Riemann-sejtés egyenértékű a

állítással minden n-re, ami nagyobb a szuperbővelkedő 5040-nél. Ha az egyenlőtlenségnek létezik egy nagyobb ellenpéldája, ami megcáfolja a Riemann-sejtést, annak is szuperbővelkedő számnak kell lennie.[3]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. ^ a b Alaoglu, Leonidas & Erdős, Paul (1944), "On highly composite and similar numbers", Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 56 (3): 448–469, DOI 10.2307/1990319
  2. (A166735 sorozat az OEIS-ben).
  3. Akbary, Amir & Friggstad, Zachary (2009), "Superabundant numbers and the Riemann hypothesis", American Mathematical Monthly 116 (3): 273–275, DOI 10.4169/193009709X470128

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Superabundant number című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

További információk[szerkesztés]