Szimmetrikus hatványösszeg-polinom

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A matematikában, azon belül a kommutatív algebrában a szimmetrikus hatványösszeg-polinomok a szimmetrikus polinomok egyfajta alapvető építőkövei, abban az értelemben, hogy minden racionális együtthatós szimmetrikus polinom felírható szimmetrikus hatványösszeg-polinomok racionális együtthatós polinomjaként. Azonban nem minden egész együtthatós szimmetrikus polinomot kaphatunk meg szimmetrikus hatványösszeg-polinomok szorzatainak egész együtthatós kombinációjaként. Ezek ugyanis a racionálisok" felett alkotnak generátorhalmazt, nem pedig az egészek felett.

Definíció[szerkesztés]

Jelöljük pk-val az x1, ..., xn változók k-adik szimmetrikus hatványösszeg-polinomját, amely minden k = 0, 1, 2, ... esetén az n változó k-adik hatványainak összege. Formálisan:

Az első néhány polinom:

Így minden nemnegatív egész k-hoz létezik pontosan egy szimmetrikus hatványösszeg-polinom, amely k-adfokú és n változós.

A szimmetrikus hatványösszeg-polinomok szorzatának lineáris kombinációi által előállított polinomgyűrű kommutatív gyűrű.

Példák[szerkesztés]

Az alábbiakban láthatunk néhány szimmetrikus hatványösszeg-polinomot konkrét értékekre kiszámolva:

1) n = 1, k = 1:

2) n = 2, k = 1, 2:

3) n = 3, k = 1, 2, 3:

Tulajdonságok[szerkesztés]

Az n változós 1, 2, ..., n-edfokú szimmetrikus hatványösszeg-polinomok halmaza generálja az n-edfokú szimmetrikus polinomok gyűrűjét. Másként:

Tétel. A racionális együtthatójú szimmetrikus polinomok gyűrűje egyenlő a racionális polinomgyűrűvel. Hasonlóan teljesül ez akkor is, ha az együtthatókat bármely nem nulla karakterisztikájú testből vesszük.

Ugyanakkor ez nem igaz, ha az együtthatóknak egészeknek kell lenni. Például ha n = 2, akkor a

szimmetrikus polinomnak az alábbi felírásában tört együtthatók jelennek meg:

.

A tétel szerint ez az egyetlen lehetőség a polinom p1-gyel és p2-vel való kifejezésére. Következésképpen P nem tartozik a polinomgyűrűbe. Másik példa az elemi szimmetrikus polinomok - ek - kifejezése a hatványösszeg-polinomok polinomjaként, ekkor nem mindegyiknek lesznek egész együtthatói, például

A tétel szintén nem lesz igaz, ha a test karakterisztikája nullától különböző. Például ha az F test karakterisztikája 2, akkor , úgyhogy p1 és p2 nem tudják előállítani e2 = x1x2-t.

A tétel részleges bizonyításának vázlata: A Newton-féle azonosságoknál a hatványösszegek az elemi szimmetrikus polinomok függvényei; ezt a következő rekurzióból kapjuk meg, bár a hatványösszegeket megadó explicit függvény az ej-re nézve bonyolult (lásd Newton-féle azonosságok):

Átírva ugyanezen rekurziót megkapjuk az elemi szimmetrikus polinomokat a hatványösszeg-polinomokkal kifejezve (szintén implicte, az explicit képlet bonyolultsága miatt):

Ebből következik, hogy az elemi szimmetrikus polinomok racionális, bár nem egész együtthatós lineáris kombinációi az 1, ..., n-edfokú hatványösszeg-polinomoknak. Mivel az elemi szimmetrikus polinomok egy testből vett együtthatójú szimmetrikus polinomok egy bázisát alkotják, minden n változós szimmetrikus polinom egy polinomfüggvénye a p1, ..., pn hatványösszeg-polinomoknak. Tehát a szimmetrikus polinomok gyűrűjét tartalmazza a hatványösszeg-polinomok által generált gyűrű, . Mivel minden hatványösszeg-polinom szimmetrikus, a két gyűrű egyenlő.

(Ez nem bizonyítja azt, hogy az f polinom egyértelmű.)

Hivatkozások[szerkesztés]

  • Macdonald, I.G. (1979), Symmetric Functions and Hall Polynomials. Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Clarendon Press.
  • Macdonald, I.G. (1995), Symmetric Functions and Hall Polynomials, second ed. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0 (paperback, 1998).
  • Richard P. Stanley (1999), Enumerative Combinatorics, Vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1

Lásd még[szerkesztés]