Szerkesztő:Whoami/Topológia

Topológia

A topológia a matematika egy fejezete. Célja, hogy a "közelség", "szomszédság" fogalmának precíz értelmet adjon. A topológiai alapfogalma a topologikus tér, melyek közötti természetes topologikus leképezések a folytonos leképezések. A topológia feladata, hogy olyan ún. topologikus invariánsokat találjon, melyeket a folytonos leképezések megtartanak, ilyenek pl. az összefüggőség, kompaktság, stb. A topologikus terek közti legtermészetesebb "azonosság" a homemomorfizmus: ha két topologikus tér egymással homeomorf, akkor topologikusan invariáns tulajdonságaik megyegyeznek, topológiai vizsgálattal egymástól nem megkülönböztethetőek. A topológia a matematika egyik alaptudománya, szinte minden más matematikai területen használják eredményeit.

Topologikus terek

Egy $({\mathcal {M}},\tau )$ pár topologikus tér, ha a ${\mathcal {M}}$ egy halmaz, $\tau \subset {\mathcal {P}}({\mathcal {M}})$, mely a következő tulajdonságokkal bír:

1. $\emptyset \in \tau ,\ M\in \tau$
2. $U_{1},U_{2},\dots U_{n}\in \tau \Rightarrow \cap _{i=1}^{n}U_{i}\in \tau$
3. $\forall i\in I\ U_{i}\in \tau \Rightarrow \cup _{i\in I}U_{i}\in \tau$