Szerkesztő:Cvbncv/Fonon

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A rács atomjainak kollektív elmozdulása, melynek leírását a szilárdtestfizikában a fononok adják. A kitérések a valóságban ennél jóval kisebbek.

A szilárdtestfizikában fononoknak nevezzük a szilárdtesteket felépítő atomok kollektív rezgéseit leíró kvázirészecskéket. Ezeket rugalmas közegek (egyes szilárd testek és folyadékok) rezgési módusainak kvantummechanikai jellemzésére alkalmazzák.

Ha a szilárdtestben az atomokat helyhez rögzítettként képzelnénk el és a termikus jellemzőket pusztán az elektronok mozgásából származtatnánk, helytelen eredményre jutnánk például a fajhő, a hővezetés, a hőtágulás, a fázisátalakulások leírása és egyéb termikus jelenségek magyarázatánál. A fononok fotonokkal való kölcsönhatása is értelmezhető, mely a fény-anyag kölcsönhatások értelmezéséhez ad támpontot. Mindezek miatt a fononok szerepe igen fontos a szilárdtestfizikai elméletekben.

Rácsrezgések szilárdtestekben[szerkesztés]

A kristályrácsban az atomok az egyensúlyi helyük körül kis mozgást végeznek, ez a szilárdtest termikus gerjesztéseinek következménye. A szilárdtestek fizikai jellemzőinek magyarázatához ezeket a mozgásokat is figyelembe kell venni.

A fononok meghatározásához el kell tekinteni a kristály atomjainak diffúziójától, azaz a feltételezés szerint az atomok csak egyensúlyi helyük körül mozoghatnak. Ez a közelítés jó, ha a szilárdtestet jóval az olvadáspontja alatti hőmérséklet jellemzi. További egyszerűsítő feltételezés, hogy az atomoknak a rácspontok körüli mozgását sorba fejtve csak a másodrendű tagokat tartjuk meg, ezt nevezzük harmonikus közelítésnek. Ez szemléletesen annak felel meg, mintha az atomokat egyensúlyi helyzetükbe rugók húznák vissza: az atomok egyensúlyi helye körül ható potenciál egyszerű rugókéra hasonlít. A fenti közelítésekkel már igen jó leírást adhatunk a szilárdtest fajhőjéről, hőtágulásáról és egyéb termikus jelenségeiről.

A rácsrezgések általános leírása összetett, viszont van néhány alapeset, mely matematikailag egyszerűbben megfogalmazható, így megkönnyíti a fononok jellemzőinek szemléltetését.

Egyatomos lánc rezgései[szerkesztés]

[TODO Media: normal modes 280kB]

Egyatomos lánc néhány lehetséges rezgési állapota.

Az egyik legegyszerűbb, de szemléletes eset, amikor azonos atomok egydimenziós láncának rezgéseit tekintjük. Az atomok egy egyenes mentén egyenlő helyezkednek el, kitérésük is ugyanezek egyenes mentén lehetséges. Az azonos tömegű atomok távolsága az egyensúlyi helyzetben legyen egyenlő, az atomokra ható potenciál pedig olyan, mintha a szomszédos atomok kis rugókkal lennének összekötve (azaz harmonikus közelítést alkalmazunk, a potenciálban csak a másodrendű tagokat vesszük figyelembe). Az n-edik atom egyensúlyi helye , kitérése . Felhasználjuk továbbá, hogy a kölcsönhatás gyorsan csökken, azaz csak elsőszomszéd kölcsönhatást feltételezünk (a fenti rugós képben ez azt jelenti, hogy csak szomszédos atomok között van rugó, távolabbiak között nihncs). A harmonikus közelítéssel a potenciál kifejezése egy adott atomra:

,

ahol az elsőszomszéd párkölcsönhatások együtthatói.

Ha bevezetjük az atomok között elképzelt rugók erőállandóját, akkor egyszerű alakban kapjuk meg egy atom körüli potenciált:

.

Az erő általánosan a potenciál negatív gradiense, ami jelen esetben az n-edik atom kitérése szerinti parciális deriválást jelent:

.

A mozgásegyenlet megoldásához határfeltétel kell, ami célszerűen lehet például Born–Kármán-féle periodikus határfeltétel: az egyatomos, végtelen láncot N atomból álló gyűrűként képzeljük el. Ennek következménye, hogy az -edik atom megyegyezik az elsővel, ahogy a kitérésük is: . Azt várjuk, hogy a morgásegyenlet megoldásai haladó hullámokat adnak, így a megoldást legegyszerűbben úgy kaphatjuk meg, ha Fourier-sor alakban írjuk fel a

kifejtéssel, ami diszkrét helyváltozó helyett diszkrét hullámszámra, folytonos időváltozó helyett folytonos frekvenciára való áttérést jelent. Ezzel a mozgásegyenlet:

.

Egyatomos lánc diszperziós relációja.

A hullámszámú rezgéshez tartozó körfrekvencia ebből meghatározható:

.

A fenti összefüggés, mely a frekvencia hullámszámfüggését adja meg, a szilárdtestfizikában gyakran alkalmazott diszperziós relációk egyik esete az egyatomos lánc esetére. Megjegyzendő, hogy az összefüggés -ban periodikus, hiszen egy adott -ra és -val eltoltjára azonos értéket ad:

Emiatt a diszperziós relációt gyakran csak a perióduson belül ábrázolják, ami a hullámszámtérbeli reciprokrács elemi cellájának, azaz az első Brillouin-zónának felel meg.

Kétatomos lánc rezgései[szerkesztés]

Egyszerű köbös rács rezgései[szerkesztés]

Diszperziós reláció[szerkesztés]

Akusztikus és optikai fononok[szerkesztés]

Kvantummechanikai megfogalmazás[szerkesztés]

Általános leírás, operátor formalizmus[szerkesztés]

Másodkvantálás[szerkesztés]

Érdekességek[szerkesztés]

  • fonon computing
  • harmonikus feletti rendek figyelembevétele, milyen fizikai jelenségek leírásához kell

Források[szerkesztés]

  • Sólyom Jenő: A modern szilárdtest-fizika alapjai I: Szerkezet és dinamika. Budapest: ELTE Eötvös Kiadó. 2009. ISBN 9789632840970  
  • Charles Kittel: Bevezetés a szilárdtest-fizikába. Budapest: Műszaki Könyvkiadó. 1981.