Wallace–Bolyai–Gerwien-tétel

Háromszög és négyzet egymásba darabolása

Wallace–Bolyai–Gerwien-tétel azt mondja ki, hogy az egyenlő területű sokszögek átdarabolhatók egymásba. A tétel megalkotása William Wallace, Bolyai Farkas és a Paul Gerwein matematikusok nevéhez fűződik, akik egymástól függetlenül jutottak hasonló eredményre.

Bizonyítása

A bizonyítás konstruktív: nem használja a kiválasztási axiómát.

A tétel több lépésben bizonyítható.

1. Háromszög átdarabolható téglalappá. Lépései: A legnagyobb oldallal párhuzamos középvonallal egy kis háromszöget vágunk le, és ezt a középvonalra merőleges magasságvonalával vágjuk ketté. A kapott kis háromszögek a trapézt téglalappá egészítik ki.

2. Két, egyenlő alapú és egyenlő magasságú paralelogramma átdarabolható egymásba. Tegyük fel, hogy az $ABCD$ és az $ABC_{1}D_{1}$ paralelogrammák az $AB$ egyenes ugyanazon oldalán fekszenek. Feltehető, hogy az egyik nem téglalap, különben egybevágók, és kész a bizonyítás.

Ha $D$ a $D_{1}C_{1}$ szakaszon helyezkedik el, akkor az $ADD_{1}$ és a $BCC_{1}$ háromszögek egybevágók, ezért az $ABC_{1}D$ trapézt ezek segítségével lehet kiegészíteni az egyik, vagy a másik paralelogrammára.

Ha $D$ nincs a $D_{1}C_{1}$ szakaszon, akkor legyen az $AD$ és a $BC_{1}$ szakasz metszéspontja $P$. $AB$ és $P$ távolságával párhuzamosokat húzunk $AB$-hez, először $P$-n át, majd egészen addig, amíg túl nem lépjük a $CD$ egyenest. A kapott kis paralelogrammákat tovább daraboljuk egyik átlójuk behúzásával, mégpedig az $ABCD$-ben levőkét a $BC_{1}$-gyel, és az $ABC_{1}D_{1}$-ben fekvőkét az $AD$-vel párhuzamos átlójukkal. Ezzel a kis paralelogrammákat egybevágó háromszögekké vágtuk fel, az utolsó lépésben kapottakat kivéve, ahol is egy-egy, páronként egybevágó háromszög és trapéz keletkezik.

3. Minden téglalap átdarabolható olyan téglalappá, amelynek az egyik oldala adott. Az $ABCD$ téglalapot így daraboljuk át úgy, hogy egyik oldala $a$ hosszú legyen:

Ha $a$ rövidebb a téglalap kisebb oldalánál (most ez legyen $BC$), akkor a téglalapot az egyik oldalával párhuzamosan felcsíkozzuk, és a kapott kis téglalapokat egymás mellé tesszük.

Tegyük fel, hogy $a$ hosszabb a téglalap rövidebb oldalánál. Ekkor van egy $C_{1}$ és $D_{1}$ pont a $CD$ egyenesen, hogy $BC_{1}=AD_{1}=a$. Ezért az $ABCD$ és az $ABC_{1}D_{1}$ olyan paralelogrammák, amelyeknek közös az alapja, és egyenlő a magassága, így 2. szerint átdarabolhatók egymásba, tehát $ABCD$ is átdarabolható az $a$ oldalú, $BC_{1}$ alapú téglalappá, aminek a másik két csúcsa a $D_{1}A$ egyenesre esik.

4. A tétel bizonyítása. Az $S_{1}$ és az $S_{2}$ egyenlő területű sokszögeket háromszögekre vágjuk. 1. szerint ezeket a háromszögeket téglalapokká daraboljuk át, és a kapott téglalapokat 3. szerint adott $a$ oldalhosszú téglalappá. Ezeket egymás mellé helyezve két egybevágó téglalapot kapunk, amik nyilván egymásba átdarabolhatók.

Általánosítása

A kérdés általánosabban is feltehető: átdarabolható-e két, egyenlő térfogatú poliéder egymásba? Ez Hilbert harmadik problémájaként vált ismertté. Max Dehn látta be először 1900-ban, hogy ez nincs így. Például egy kocka és egy gúla nem darabolható át egymásba, még akkor sem, ha térfogatuk megegyezik.

Források

• Reiman István: Geometria és határterületei
• http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/Bolyai.shtml angolul
• Példa Bolyai Farkas tételére Kabai Sándor, Holló Szabó Ferenc, és Szilassi Lajos a The Wolfram Demonstrations Project keretében angolul