Környezet (matematika)

Egy $V$ halmaz a síkon csak akkor környezete a $p$ pontnak, ha létezik egy olyan kellően kis sugarú körlap $p$ középponttal, amelyet $V$ bennfoglal (vagyis amely részhalmaza $V$-nek).

A topológiában és a matematika más részein a környezet egy alapvető fogalom. Intuitív módon úgy lehet leírni, hogy egy pont környezete egy olyan halmaz, ami tartalmazza magát a pontot úgy, hogy „van még hely”, vagyis hogy a pont „mozgatható” ezen a környezeten (halmazon) belül.

Egy téglalap nem a környezete egyetlenegy csúcsának sem (és az élt alkotó pontoknak sem).

Ez a fogalom szoros kapcsolatban áll a nyílt halmazokkal és a belső pontokkal.

Definíció

Ha $X$ egy topologikus tér, és $p$ $X$-nek egy pontja, akkor $p$ egy környezete $X$-nek egy olyan $V$ részhalmaza, amelynek részhalmaza egy olyan $U$ nyílt halmaz, amely tartalmazza $p$-t, vagyis:

$p\in U\subseteq V.$

Ez azzal ekvivalens, hogy $p\in X$, és hogy $p$ a $V$ egy belső pontja.

Jegyezzük meg, hogy magának a $V$ környezetnek nem kell nyílt halmaznak lennie. Ha $V$ nyílt, akkor nyílt környezetnek vagy nyitott környezetnek is nevezik. Néhányan megkövetelik, hogy a környezetek nyitottak legyenek, ezért azt, hogy egy adott esetben mit értünk pontosan környezet alatt, érdemes közölni.

Azok a halmazok amelyek az összes általuk tartalmazott pontnak a környezetei biztosan nyitottak, hiszen felírhatóak nyílt halmazok uniójaként.

Egy pont összes környezetét tartalmazó halmazt az adott pont környezet-rendszerének nevünk.

Ha $S$ az $X$ topologikus tér egy részhalmaza, akkor az $S$ környezetén egy olyan $V$ halmazt értünk, ami magában foglal egy nyílt $U$ halmazt, ami magában foglalja $S$-t. Ebből következik, hogy egy $V$ halmaz akkor és csak akkor környezete egy $S$ halmaznak, ha az környezete $S$ minden pontjának. Továbbá adott, hogy $V$ akkor és csak akkor környezete $S$-nek, ha $S$ részhalmaza $V$ összes belső pontja által alkotott halmaznak (vagyis $V\setminus \partial V$-nak, ahol $\partial V$ a $V$ határát jelöli).

Metrikus terekben

Egy $S$ halmaz a síkban és az $S$ halmaz egy uniform környezete, $V$. (Szaggatottal jelölve egy $r$ sugarú „gömböt” amely középpontja az $S$ egyik „csúcsa”, ill. az összes $B_{r}(p)$ halmaz uniója által alkotott halmaz.)

Egy $M=(X,d)$ metrikus térben egy $V$ halmaz a $p$ pont környezete ha létezik egy nyitott gömb $p$ középponttal és $r>0$ sugárral úgy, hogy:

$B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}$

részhalmaza $V$-nek (vagyis $p$ belső pontja $V$-nek).

$V$-t az $S$ halmaz uniform környezetének hívják, ha létezik olyan pozitív $r$ szám, hogy bármely $p\in S$ elemre teljesül, hogy:

$B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}$

részhalmaza $V$-nek (vagyis ha $r$ megválasztása nem függ magától a $p$ elemtől, hanem csakis az $S$ és a $V$ halmazok jellegétől).

Bármely $r>0$-ra és $S$-re értelmezett egy $r$-környezet $S_{r}$, ami azon pontok halmaza, amelyek elemei $X$-nek és a távolságuk $S$ egy elemétől kisebb, mint $r$. (Vagy egy másik ekvivalens definíció alapján, $S_{r}$ az uniója az összes nyitott $r$ sugarú gömbnek, amelyek középpontja $S$ valamely pontja).

Ismert, hogy bármely $r$-környezet uniform környezet, ill., hogy egy halmaz akkor és csak akkor uniform környezet ha tartalmaz egy $r$-környezetet valamilyen $r>0$-val.

Topológia környezetekből

Egy lehetséges definíciója a topológiáknak az, hogy először is definiáljuk pontok környezet-rendszerét, majd ennek segítségével definiáljuk a nyílt halmazokat úgy, mint olyan halmazok, amelyek minden pontjukhoz tartalmaznak egy környezetet is.

Ezután $X$ minden környezet-rendszerének uniójához létrehozunk egy $N(x)$ halmazt minden $x\in X$-re amely $X$ részhalmazaiból áll, és amelyre igazak az alábbiak:

1. az $x$ pont eleme az összes $U\in N(x)$-nek.
2. minden $U\in N(x)$ bennfoglal egy $V\in N(x)$ halmazt, úgy hogy bármely $y\in V$-re, $U\in N(y)$.

Bizonyítható, hogy a topológia mindkét definíciója ekvivalens, vagyis hogy ekvivalens a definíció, amiben a környezet-rendszert nyitott halmazokkal definiáljuk, és az a definíció, amely a környezet-rendszer segítségével definiálja a nyitott halmazokat és a topológiát (lásd fent).

Források

• Kelley, John L.. General topology. New York: Springer-Verlag (1975). ISBN 0-387-90125-6 
• Bredon, Glen E.. Topology and geometry. New York: Springer-Verlag (1993). ISBN 0-387-97926-3 
• Kaplansky, Irving. Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society (2001). ISBN 0-8218-2694-8