Egységgyök

A matematikában n-edik komplex egységgyökök azok a z komplex számok, melyekre igaz, hogy

$z^{n}=1,\,$

ahol n = 1,2,3,… egy pozitív egész szám.

Egy n-edik egységgyök primitív egységgyök, ha semmilyen k < n, k = 1,2,…,n−1 pozitív egész szám esetén nem k-adik egységgyök.

Komplex egységgyökök

A komplex számok $\mathbb {C}$ testében az n-edik egységgyökök pontosan az

$\exp \left({2\pi \mathrm {i} k \over n}\right),\quad k=0,1,\ldots ,n-1$

alakú számok.

Legyen $\varepsilon _{n}=\exp \left({2\pi \mathrm {i} \over n}\right)$. Ekkor az n-edik egységgyökök alakja:

$1,\varepsilon _{n},\varepsilon _{n}^{2},\dots ,\varepsilon _{n}^{n-1}$.

Ha nyilvánvaló, hogy hányadik egységgyökökről van szó, akkor sokszor elhagyják az alsó indexet.

$\omega$ n-edik primitív egységgyök, ha n-edik hatványa 1, de semmilyen kisebb kitevős hatványa nem az. Az egyik primitív egységgyök

$\varepsilon _{n}=\exp \left({2\pi \mathrm {i} \over n}\right)$.

A további primitív egységgyökök $\varepsilon _{n}$ n-hez relatív prímkitevős hatványai.

Az n-edik egységgyökök száma n, a primitív n-edik egységgyököké $\phi (n)$.

A körosztási testek $\mathbb {Q}$ bővítései, amelyek tartalmazzák az egységgyököket: az n-edik körosztási test az n-edik egységgyököket.

Az egységgyökök összege

Ha $\varepsilon$ n-edik egységgyök, akkor: $1+\varepsilon +\varepsilon ^{2}+\dots +\varepsilon ^{n-1}={\begin{cases}1,&\mathrm {ha} \ n=1\\0,&\mathrm {ha} \ n\not =1.\end{cases}}$

Ez a mértani sorozatok összegzési képletéből következik.

Mértani helyük a komplex számsíkon

A komplex egységgyökök annak az egységkörbe írt szabályos n-szögnek a csúcsaiban vannak, amelynek egyik csúcsa az 1.

Így a $\varepsilon _{n}^{k}=x_{k}+\mathrm {i} \,y_{k}$ egységgyök valós és képzetes része ezeknek a csúcsoknak a koordinátái, vagyis $k=0,1,\dots ,n-1$-re

$x_{k}=\cos(2\pi k/n)=\cos(360^{\circ }\cdot k/n)$    és   $y_{k}=\sin(2\pi k/n)=\sin(360^{\circ }\cdot k/n)$.

Példák

A második egységgyökök: 1 és −1.

A harmadik egységgyökök: $\varepsilon _{1}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}},\quad \varepsilon _{2}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}},\quad \varepsilon _{3}=1$;

A negyedik egységgyökök alakja ismét egyszerűbb: : $\varepsilon _{1}=\mathrm {i} ,\quad \varepsilon _{2}=-1,\quad \varepsilon _{3}=-\mathrm {i} ,\quad \varepsilon _{4}=1$,

Az ötödik egységgyökök

A $0=1+\varepsilon +\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3}+\varepsilon ^{4}$ egyenlőség alapján

$0={\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}+{\frac {1}{\varepsilon }}+1+\varepsilon +\varepsilon ^{2}=\left({\varepsilon }+{\frac {1}{\varepsilon }}\right)^{2}+\left({\varepsilon }+{\frac {1}{\varepsilon }}\right)-1=w^{2}+w-1$

ahol $w=\varepsilon +{\frac {1}{\varepsilon }}=\varepsilon +\varepsilon ^{4}=2\cos(72^{\circ })$.

Ezt a negyedfokú egyenletet megoldva $w=-{\frac {1}{2}}\pm {\sqrt {\frac {5}{4}}}$ adódik. Mivel a $72^{\circ }$ szög az 1. negyedben fekszik, azért $w$ pozitív, és így $\cos(72^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$. A valós rész ez alapján nyilvánvaló; a képzetes rész Pitagorasz-tétellel adódik.

Körosztási polinom

Az n-edik primitív egységgyökök az n-edik körosztási polinom gyökei. A körosztási polinom megkapható a következőképpen:

Gyűjtsük össze azokat az $x^{k}-1$ alakú polinomokat, ahol k < n osztója n-nek. Vegyük ezek $g_{n}$ legkisebb közös többszörösét. Ekkor van egy $f_{n}$ polinom, amit $g_{n}$-nel szorozva $x^{n}-1$-et kapunk. Ez az $f_{n}$ polinom az n-edik körosztási polinom. Ezen az úton absztrakt testekhez, sőt gyűrűkhöz is definiálható körosztási polinom azokra az n-ekre, amelyek nem oszthatók a test (gyűrű) karakterisztikájával. Az absztrakt körosztási polinomok nem feltétlenül irreducibilisek, de a racionális számok teste fölöttiek igen.

Egységgyökök absztrakt értelmezése

Legyen $R$ egységelemes kommutatív gyűrű, és $n\geq 1$ természetes szám. Egy $\zeta \in R$ egységgyök, ha eleget tesz a következő, egymással ekvivalens definíciónak:

• $\zeta ^{n}=1$;
• $\zeta$ a $X^{n}-1$ polinom gyöke.

Az n-edik $R$-beli egységgyökök részcsoportot alkotnak a gyűrű multiplikatív csoportjában.

Testekben

A $K$ testben az n-edik egységgyökök ciklikus részcsoportot alkotnak. Számuk mindig osztója n-nek. Ha egyenlő vele, akkor a test tartalmazza az n-edik egységgyököket. Ekkor a primitív egységgyökök egyike generálja az n-edik egységgyökök ciklikus részcsoportját. Az n-edik primitív egységgyökök a fenti előállítás szerinti körosztási polinom gyökei.

Források

• Szele Tibor: Bevezetés az algebrába
• Fried Ervin: Algebra I–II.