Speciális relativitáselmélet

A speciális relativitáselmélet a fizikának Albert Einstein által 1905-ben megalkotott ága, mely feloldja a Maxwell-elméletbeli állandó fénysebesség és a Newtoni-mechanika sebesség-összeadása közötti ellentétet. Azért speciális, mert nem foglalja magában a gravitációt; azt csak tíz évvel későbbi munkájába sikerül belefoglalnia az általános relativitáselméletbe.

Fájl:Albert Einstein 1979 USSR Stamp.jpg

Előzményei, háttere

Galilei elve

Galilei régi gondolata, hogy az egymáshoz képest egyenletesen mozgó megfigyelők számára a természet törvényei azonosak. Azt állította, hogy semmilyen mechanikai kísérlettel nem lehet különbséget tenni a két rendszer között. Arisztotelész világképén túllépve azt állította, hogy csak a valamihez viszonyított mozgásoknak van jelentésük, nem létezik egy kitüntetett vonatkoztatási rendszer, amelyhez minden mást mérnünk kell. Ezek alapján megállapította a két, egymáshoz képest egyenes vonalú, egyenletes mozgást végző vonatkoztatási rendszer közötti transzformáció törvényeit, melyeket ma Galilei-transzformációnak nevezünk.

Galilei maga arra mutatott rá, hogy a sima tengeren haladó hajó belsejében végzett kísérletekből nem lehet megmondani, hogy a hajó halad-e, vagy áll. Ez a probléma számára elsősorban azért volt fontos, mert ezzel cáfolta a Föld tengely körüli forgásával szemben a korában hangoztatott „bizonyítékot”: a Föld már csak azért sem foroghat a tengelye körül, mert ekkor egy toronyból leejtett kő nem a torony tövében érne földet. Galilei ezzel szemben azt állította, hogy ilyenkor a kő – csakúgy mint a hajó esetében – együtt mozog a toronnyal. Ma már tudjuk, hogy Galilei gondolatmenete a toronyra vonatkozóan nem egészen helyes, hiszen forgó rendszerben az inercia erőket is figyelembe kell venni, amelyek valóban kismértékben eltérítik pályájukon az eső testeket. A hajó esetében viszont teljes mértékben igaza volt.

Általános relativitási elv

A Galilei-féle relativitási elv egyik általános megfogalmazása, hogy a mechanika számára az összes inerciarendszer egyenértékű, azaz semmilyen mechanikai kísérlettel nem lehet a különböző inerciarendszerek mozgásállapotára vonatkozóan információt nyerni. A relativitási elv fenti megfogalmazásából adódik, hogy amennyiben a klasszikus mechanika önmagában helyes, akkor a Galilei-féle relativitási elvnek igaznak kell lennie. A klasszikus mechanika megalapozása és a múlt század vége között eltelt mintegy 200 év alatt sok tapasztalat gyűlt össze arra nézve, hogy zárt rendszerben a rendszer mozgására vonatkozóan nemcsak mechanikai, hanem másfajta kísérletekkel sem nyerhetünk információt. Ilymódon kialakult egy újabb megfogalmazás, amelyet a Galilei-féle relativitási elvtől való megkülönböztetésül általános relativitási elvnek nevezünk, mely szerint az inerciarendszerek a fizika számára egyenértékűek.

Az általános relativitási elvnek, amennyiben igaz, van egy fontos következménye: nem létezik abszolút nyugvó vonatkoztatási rendszer, azaz abszolút tér. Az abszolút tér fogalma az emberi szemlélet számára kényelmes kategória, amelynek feladása nem könnyű. Ez magánál Newtonnál is érdekes kettősségre vezetett. Ő – valószínűleg főként filozófiai okokból – posztulálta az abszolút tér létezését, de fizikusi zsenialitása megakadályozta abban, hogy ezt valóban ki is használja. Így eredményei helyesek annak ellenére, hogy feltevései között hibás is volt.

Maxwell-elmélet

A 19. század elejétől a fényt, az elektromosságot és a mágnességet egy egységes elmélet, a Maxwell-elmélet írja le. Ez az elmélet azt is megmutatta, hogy a gyorsuló töltések elektromágneses sugárzást bocsátanak ki, mely a fény sebességével terjed. Ezek az egyenletek az ún. éter fogalmán alapultak, melyben a fény sebessége nem változik, ha a forrás mozog hozzá képest, ez összhangban van a mechanikai hullámokkal. Ezzel ellentétben, ha a megfigyelő mozog az éterhez képest, akkor a fény sebességének változnia kell a számára. A fizikusok megpróbálták megmérni, hogy a Földdel együtt történő mozgásunk hogyan befolyásolja az általunk mért fénysebességet. A leghíresebb kísérlet a Michelson–Morley-kísérlet volt. Bár az eredmény hihetetlen volt akkoriban, megállapította, hogy a fény sebessége nem függ a megfigyelő mozgásától, és a Maxwell-egyenletek szerint nem függ a forrás sebességétől sem: a fény sebessége invariáns (változatlan) minden megfigyelő számára.

Axiómái

A fénysebesség állandóságának elve az éterfogalommal összekapcsolva ellentmondani látszik az általános relativitás elvének, miután egy olyan lehetőséget vet fel, hogy a viszonyítási rendszerek mozgása az éterhez képest kimutatható. A két elv azonban önmagában nem zárja ki egymást. Megkísérelhetjük tehát azt, hogy feltételezzük, hogy a fénysebesség állandóságának elve és az általános relativitás elve egyszerre érvényes, és megvizsgáljuk, az ebből adódó modell helyesen írja-e le a kísérleti eredményeket.

A speciális relativitáselméletet Einstein a következő két fő feltételezésre alapozta:

1. Minden fizikai jelenségnek, és így a jelenség leírását megadó elmélet matematikájának azonosan kell kinéznie minden inerciarendszerben.
2. A vákuumbeli fénysebesség, melyet általában c-vel jelölnek, állandó, bármely inerciarendszerből is mérjük meg és bármelyik irányban, függetlenül a fény frekvenciájától, a detektor, illetve a fényforrás mozgási sebességétől.

Ha a két állítást összevetjük, akkor ez egyenértékű azzal az állítással, hogy a fény terjedéséhez semmilyen közegre (a korábban feltételezett éterre) nincs szükség.

Az első axióma (Galilei után) szemléletesen azt jelenti, hogy egy hajó belsejében, ahol nincsenek ablakok, semmilyen kísérlettel nem tudjuk eldönteni, hogy a hajó áll, vagy egyenes vonalú egyenletes sebességgel halad. Ha például kirakunk egy akváriumot benne halakkal, azok mindkét esetben ugyanúgy mozognak, nem tömörülnek fel az üvegedény elején vagy a végén.

A második axióma már közel sem ilyen természetes: Az ember ösztönösen nem érzi, hogy a mozgó autó fényszórójából ugyanolyan gyorsan jön a fény, mint az állóéból. Azonban erre a látszólag erős axiómára nincs is szükség. Mára ennek inkább fizikatörténeti jelentősége van, sem mint fizikai. A fény egy igen bonyolult fogalom (elég ha csak a rengeteg modelljére gondolunk), nem tartozik a speciális relativitáselmélet lényegéhez.

Egyik inerciarendszerből a másikba ugyanúgy kell a téridőkoordinátákat transzformálni függetlenül a fénytől, vagy az egyéb körülményektől. A megfelelő transzformációs szabály megkapható pusztán az első axiómából (meg olyan alapvető axiómákból, amit implicite felhasználunk, de pont azért, mert olyan alapvető, nem gondolunk rá, hogy lehetne másképp, úgy mint például: a tér homogén, a tér izotrop, az idő homogén). A transzformációs szabály függvényegyenlet megoldásaként áll elő, amiben lesz egy a természetre jellemző, sebesség dimenziójú, c-vel jelölt állandó, amit méréssel lehet meghatározni. Ennek a c állandónak az értéke megegyezik a nulla nyugalmi tömegű részecskék (például foton) sebességével, amit a fényre az elektrodinamika relativisztikusan kovariáns egyenleteinek felírásával, majd megoldásával igazolható.

Koordináta transzformációk

A mozgó viszonyítási rendszerekben történő számításokhoz nyilvánvalóan szükségünk van egy módszerre, mely segítségével átszámolhatjuk az egyes pontok koordinátáit az egyik rendszerből a másikba. Kezdetnek tekintsünk egy K, és egy K-hoz képest az x tengely mentén pozitív irányba v sebességgel mozgó K’ koordináta-rendszert, amelyeket célszerű okból úgy veszünk fel, hogy az x-tengelyek egybeesnek, az y és y’, valamint z és z’ tengelyek pedig egymással párhuzamosak. A probléma tehát, hogy meg kell határozni azt a műveletet, melyet az {x, y, z, t} koordinátákon elvégezve megkapjuk az {x’, y’, z’, t’} koordinátákat, így a K rendszerben felírt egyenletek a megfelelő transzformáció után K’ rendszerben is helyesek lesznek.

A klasszikus mechanika tapasztalatai szerinti az $x'=x-vt\quad y'=y\quad z'=z\quad t'=t$ egyenlőségek lesznek igazak, melyeket egyébként Galilei-féle transzformációnak nevezünk.

Lorentz-transzformáció

Egyáltalán nem magától értetődő, hogy a koordináták helyes átszámításához éppen a Lorentz-transzformáció a megfelelő. Ennek meghatározására felírjuk mindkét rendszerben (K és K’) az x tengelyen pozitív irányba terjedő fényhullám egyenletét:

${\begin{cases}x=ct\\x'=ct'\end{cases}}$

Mivel a K rendszerben meghatározott pontok ugyanúgy egy fényjel pályáját határozzák meg, mint a K’ rendszerben, ezért az első egyenlet megoldása a másiknak is megoldása, az eltérés legfeljebb annyi lehet, amit egy konstans szorzóval korrigálhatunk, így a következő kifejezést kapjuk:

$x'-ct'=\lambda \left(x-ct\right)$

Ugyanez felírva az x tengelyen terjedő negatív irányú fényhullámra:

$x'+ct'=\mu \left(x+ct\right)$

A két egyenlet összeadása után a következő alakra jutunk:

$2x'=x\left(\lambda +\mu \right)-ct\left(\lambda -\mu \right)$

A fenti forma már kezd hasonlítani ahhoz, amit elsőre várnánk, hiszen az x koordináta transzformációja azt jelentené, hogy a keresett egyenlet egyik oldalán az x’ található, a másikon pedig egy x-et és t-t tartalmazó kifejezés.

Ha az egyenletet leosztjuk kettővel, majd a kapott alakban található ${\frac {\lambda +\mu }{2}}$ és ${\frac {\lambda -\mu }{2}}$ értékeket a-val, illetve b-vel helyettesítjük, akkor adódik, hogy $x'=ax-bct$, illetve az első hullámegyenletben: $ct'=act-bx$, ami formailag már megfelel a keresett transzformációnak. Ha tehát sikerül a és b együtthatók meghatározása, akkor megkapjuk a keresett általános megoldást.

---

A K-beli megfigyelő t=0 időpillanatban felírja egy K’-beli egységnyi hosszúságú rúd hosszát, azaz $\Delta x'=1$.

Fontos, hogy a K’ rendszer v sebességgel mozog a közös x tengely mentén. Vegyük K’ origóját, azaz az $x'=0=vt$ pontot, amiből felírható, hogy $0=avt-bct$, amiből pedig az adódik, hogy ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{v}}$, illetve $x'=ax$, tehát a hosszegységek közötti összefüggés:

$\Delta x={\frac {\Delta x'}{a}}={\frac {1}{a}}$

Ha ugyanezt elvégezzük a K’ rendszer t’=0 időpillanatában, akkor $act=bx$ adódik, amiből t-t kifejezve és behelyettesítve az $x'=ax-bct$ egyenletbe, a szükséges átalakítások után az alábbi forma adódik:

$\Delta x'=a-{\frac {b^{2}}{a}}$

A relativitási elv miatt a két rendszerre kapott eredménynek meg kell egyeznie, mivel ha létezne olyan kísérlet, amivel különböző eredményre jutunk, akkor a két viszonyítási rendszert meg tudnánk különböztetni. Ha tehát $\Delta x'=\Delta x$, akkor felírható, hogy:

$a^{2}={\frac {1}{1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$

Ebből az összefüggésből gyököt vonva, majd a a/b=c/v arányt kihasználva b-t eliminálva, majd ugyanezt behelyettesítve a-ra megkapjuk a két keresett összefüggést:

$a={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$, valamint $b={\frac {v}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

A fenti levezetésből rögtön következik a speciális relativitáselmélet által is megkövetelt koordináta transzformációs forma. Már az elmélet felállítása előtt Hendrik Lorentz és mások észrevették, hogy az elektromágneses tér függ a megfigyelő mozgásától. Például az egyik megfigyelő egy pontban nem észlel mágneses teret, míg a hozzá képest mozgó igen. Lorentz egy olyan éterelméletet javasolt, melyben a tárgyak és a megfigyelők, melyek az éterhez képest mozognak fizikailag megrövidülnek (Lorentz–Fitzgerald-kontrakció) és számukra az idő megnyúlik (idődilatáció).

A Lorentz-transzformáció, amelyet a holland fizikus már korábban bevezetett, továbbra is érvényben marad, de Einstein elvetette, hogy valamilyen közeg („éter”) rövidülne-hosszabbodna meg. Ez a transzformáció írja le az áttérést a két rendszer adatai között melynek végleges alakja tehát:

$x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\qquad x={\frac {x'+vt'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

$t'={\frac {t-{\frac {vx}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\qquad t={\frac {t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

$y'=y\qquad y=y'\,\!$

$z'=z\qquad z=z'\,\!$

Következményei

A speciális relativitáselméletnek több olyan következménye van, mely a hétköznapi ember számára szokatlannak tűnik:

• Két esemény között eltelt idő függ attól, hogy melyik rendszerből nézzük. Két egymáshoz képest mozgó rendszerből nézve eltérő értéket kapunk. (Lásd Lorentz-transzformáció)
• Két esemény, amely az egyik rendszerből nézve egyidejű, a másikból nézve eltérő idejű lehet. (Nincs abszolút egyidejűség.)
• Egy tárgy méretei (például hossza) más az egyik rendszerben, mint a másikban.
• Az ikerparadoxon két ikerről szól, melyek közül az egyik a Földön marad, a másik közel fénysebességgel utazgat. Amikor az utazó visszatér, észreveszi, hogy a testvére jobban megöregedett (számára több idő telt el) mint ő.
• A létra paradoxonban egy hosszú létra szerepel, mely közel fénysebességgel mozog, ezért befér egy kisebb garázsba, mint a saját hossza.

Összefoglalás

A speciális relativitáselmélet csak akkor pontos, ha a gravitációs hatások figyelmen kívül hagyhatóak, különben az általános relativitáselméletet kell alkalmaznunk. Nagyon kicsiny méretek esetén, a Planck-hossz tartományában és alatta, lehetséges, hogy a speciális relativitáselmélet nem érvényes a kvantumgravitációs jelenségek miatt. Mégis a makroszkopikus jelenségek leírására az erős gravitációs terektől eltekintve a speciális relativitáselméletet a fizikus közösség általánosan elfogadta, és azokat a kísérleti eredményeket, amelyek ellentmondanak neki széles körben megismételhetetlen mérési hibának tartják.

A speciális relativitáselmélet matematikailag önkonzisztens, és összhangban van a modern fizikai elméletekkel, melyek közül a jelentősebbek a kvantumtérelmélet, a húrelmélet és az általános relativitáselmélet (elhanyagolható gravitációs tér esetén). A speciális relativitáselmélet határeseteit tekintve tartalmazza a Newtoni mechanikát, ahol a sebességek és gravitációs hatások megfelelően kicsik ahhoz, hogy az klasszikus törvényekkel is leírható legyen.

Sok kísérletet végeztek a speciális relativitáselmélet igazolására, és hogy a rivális elméletekkel szemben teszteljék. Ide tartoznak a következőek is:

• A Michelson-Morley kísérlet bebizonyította, hogy nincs éterszél, és megállapította, hogy a fénysebesség állandó minden inerciarendszerhez viszonyítva
• Hamar-kísérlet – az éterszél mozgását cáfolja
• Trouton-Noble kísérlet – egy kapacitás forgatónyomatéka
• Kennedy-Thorndike kísérlet – időkontrakció
• Kísérletek az emitterelméletre melyek igazolták, hogy a fény sebessége független a kibocsátó test (emitter) sebességétől.

Energia, impulzus, tömeg

Lásd még: tömeg-energia ekvivalencia

Ha egy m tömegű test v sebességgel mozog, akkor az energiája és impulzusa a következőképpen számolható:

$E=\gamma mc^{2}\,$

$p=\gamma mv\,$

ahol γ (a Lorentz-szorzó) értéke

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

és c a fénysebesség. A γ gyakran előfordul a relativitáselméletben, és a Lorentz-transzformációból kerül ide. Az energia és az impulzus a következőképp függ össze:

$E^{2}-(pc)^{2}=(mc^{2})^{2}\,$

amely összefüggést relativisztikus energia-impulzus egyenletnek is hívnak.

A fénysebességnél jóval kisebb sebességek esetén a γ-t (gammát) Taylor-sorba fejtve kapjuk:

$E\approx mc^{2}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}\,$

$p\approx mv\,$

Elhagyva az energia első tagját a két formula egyezik a mozgási energia és impulzus newtoni definíciójával. Tehát kis sebességeknél a két elmélet egyezik, ahogy azt elvárjuk.

Az energiaképletben nyugalmi esetben (v = 0 és γ = 1) is marad nullától különböző energia:

$E=mc^{2}\,$

Ezt az energiát hívják nyugalmi energiának. A nyugalmi energia nem okoz semmi zavart, hiszen az állandó, és a mozgási energia esetén csak a változás számít.

A klasszikus fizikában megszokott energiafogalom nehezen vihető át a relativitáselméletbe, ugyanis a megszokott mozgási energia nem négyesskalár, ami durván azt jelenti, hogy ugyanazt a testet különböző sebességgel mozgó megfigyelők különbözőnek látják. Ezért aztán többféle energia elnevezés van forgalomban.

Újabb eredmények azonban azt mutatják, hogy a nevezetes képlet nem ebben a fenti formában igaz, ugyanis az energia nem négyesskalár, sőt, a nyugalmi tömeg sem vehető biztosan állandónak, ugyanis az egyelőre még csak hipotetikus Higgs-mező befolyásolja a nyugalmi tömeget. A jelenleg épülő legnagyobb részecskegyorsítóban (LHC a CERN-ben) szeretnék ezen mező létét bizonyítani, pontosabban ennek kvantumelmélet-beli megfelelőjét, a Higgs-bozont.

A képletből látható, hogy a tömeg csak az energia egy másik formája. Ez akkor válik jelentőssé, amikor eltérő atommagok tömegeit megmérve meg tudjuk mondani, mekkora energia szabadul fel valamely atommagreakció során. Ez alapvető dolog volt az atombomba kifejlesztésénél.

A tömegről

A relativitáselméletben kétféle tömeg szerepel, az egyik az invariáns tömeg vagy másképp nyugalmi tömeg, amely minden rendszerből nézve azonos. Ezt jelöltük eddig kis m-mel.

Egy másik tömegdefiníció a relativisztikus tömeg amely így kapható

$M=\gamma m\,$

Mivel a γ növekszik a sebességgel, a relativisztikus tömeg is. Ez a definíció néhány szemponból kényelmes. Részben ezzel az energia és impulzus képletét ezzel egyszerűbben írhatjuk fel:

$E=Mc^{2}\,$

$p=Mv\,$

Ez minden vonatkoztatási rendszerben érvényes. Nyugalmi helyzetben a kétféle tömeg megegyezik.

Egyik definíció sem helyes vagy helytelen, pusztán megállapodás kérdése. A fizikusok egy része mégsem szereti a relativisztikus tömeget, mert az nem skalár, más szavakkal az egyes megfigyelők által mért relativisztikus tömeg más és más. Továbbá az invariáns tömeg fontos mennyiség az általános relativitáselméletben és a kvantumtérelméletben. Emiatt sok fizikus, amikor a tömegről beszél, az invariáns tömeget érti alatta.

Például maga Einstein és a Landau sorozat sem említ relativisztikus tömeget, az Útban a modern fizikához tankönyv sem használja, és Hraskó Péter is a használata ellen van.

Források, külső hivatkozások

• Dr. Szabó Gábor: A speciális relativitáselmélet SZTE Optikai és Kvantumelektronikai Tanszék