Számtani közép

Számtani vagy aritmetikai középértéken $\,n$ darab szám átlagát, azaz a számok összegének $\,n$-ed részét értjük. A számtani közepet általában $\,A$ betűvel jelöljük:

$A(a_{1};...;a_{n})={\frac {a_{1}+...+a_{n}}{n}}$

Értelmezése

Az a és a b számok számtani közepe m akkor és csak akkor, ha m-a=b-m.

Legyenek $X_{1},\dots ,X_{n}$ ugyanolyan eloszlású, egymástól független valószínűségi változók μ várható értékkel és σ szórással, akkor az $m:={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ középérték szintén μ körül ingadozik, és szórása kisebb, ${\sqrt {\sigma ^{2}/n}}$. Ha tehát egy valószínűségi változó várható értéke és szórása is véges, akkor a Csebisev-egyenlőtlenség miatt a mintaközép a minta elemszámának növelésével sztochasztikusan konvergál a valószínűségi változó várható értékéhez. Tehát a számtani közép alkalmas a várható érték becslésére, viszont érzékeny a nem tipikus adatokra (lásd: medián).

A számtani középre vonatkozó alaptétel

Tétel: Ha a,b,c valós számok, és b=A(a,c), vagyis b az a és c számok számtani közepe, akkor b-a = c-b = (c-a)/2. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy b az a és a c számoktól egyenlő távolságra (vagyis „középen”) helyezkedik el a számegyenesen. Valóban, hiszen ha $b={\frac {a+c}{2}}$, akkor $b-a={\frac {a+c}{2}}-a={\frac {a+c-2a}{2}}={\frac {c-a}{2}}$ és $c-b=c-{\frac {(a+c)}{2}}={\frac {2c-a-c}{2}}={\frac {c-a}{2}}$.

Adott $a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ valós számok számtani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok legkisebbike, és nem lehet nagyobb, mint a számok legnagyobbika:

$\min(a_{i})\leq A(a_{1};...;a_{n})\leq \max(a_{i})$

Algebrai tulajdonságok

Ha a tetszőleges $a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ számsorozatot teszőlegesen hosszan bővítjük e számok számtani közepével, akkor az így kibővített sorozat tagjainak számtani középértéke megegyezik az eredeti számtani középpel:

$A(a_{1};\dots ;a_{n};A_{n};\dots ;A_{n})=A_{n}$

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség:

$\operatorname {A} (a,b)\geq \operatorname {G} (a,b)$

Számtani sorozatok

Számtani sorozatban – az elsőt kivéve – bármelyik tag a két szomszédjának számtani közepe. Általában $\,a_{n}$ tag az $\,a_{n-k}$ és $\,a_{n+k}$ tagok számtani közepe, ha $\,n>k$ pozitív egészek. Ennek megfordítása is igaz (ha egy sorozatban bármely két tag a szomszédos tagok számtani közepe, akkor az egy számtani sorozat), mégpedig egyszerű következménye a számtani középre vonatkozó alaptételnek.

Súlyozott számtani közép

A számtani középnek súlyozott változata is értelmezhető. Alkalmazzák például a keverési feladatokban, a valószínűségszámításban és a statisztikában.

A súlyozott számtani közép számítása:

${\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}\cdot x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$.

ahol az x_i számok rendre a w_i súlyokkal szerepelnek.

A keverési feladatokban x_i jelöli a koncentrációt, vagy a hőmérsékletet, és w_i a térfogatot, vagy a tömeget.

A statisztikai alkalmazásokban az x_i adatpontokhoz tartozó w_i súlyok azt mutatják, hogy az adott adatpont hányszor jelenik meg a mintában.

Több minta összetevésekor az egyes minták középértékeit a megfelelő minták elemszámával súlyozzák.

A valószínűségszámításban, ha az $\mathbf {X} _{i}$ valószínűségi vektorváltozók közös várható értéke $\mathbf {\mu } _{i}$, de szórásuk rendre $\sigma _{i}$, akkor a súlyozott középérték $\mathbf {\mu } _{i}$ körül ingadozik, és szórásnégyzete

$\sigma _{\bar {x}}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}}{\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}}}$.

Ha most

$w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}$,

akkor

$\sigma _{\bar {x}}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{4}}}\sigma _{i}^{2}}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}}$.

A Chauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség alapján

$\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}$.

A $w_{i}=1/\sigma _{i}^{2}$ választás minimalizálja a középérték szórását. A súlyok választása mutatja, hogy melyik adatnak mekkora fontosságot tulajdonítunk.

Alkalmazás

A számtani közepet additív – magyarul összeadható – mennyiségek átlagolására használjuk (például magasságok átlaga, testsúlyok átlaga stb.)

Függvény középértéke

A Riemann-integrálható függvények középértéke a számtani közép általánosításaként fogható fel.

Az $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ Riemann-integrálható függvény középértéke

${\bar {f}}:={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$

Ha most egyenlő osztásközöket veszünk, ahol $\{x_{0},x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}$ osztópontok, és a két szomszédos osztópont közötti távolság $h={\frac {b-a}{n}}$, akkor az

$m_{n}(f):={\frac {f(x_{1})+f(x_{2})+\dots +f(x_{n})}{n}}={\frac {1}{b-a}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})h$

számtani közép tart az ${\bar {f}}\;$ középértékhez.

Ha f folytonos, akkor az integrálszámítás középértéktétele szerint létezik $\xi \in [a,b]$, amire $f(\xi )={\bar {f}}\;$, a függvény legalább egy helyen felveszi középértékét.

A középértéknek is van súlyozott változata, ahol is a $w(x)\;$ súlyfüggvény pozitív minden $x\in [a,b]$-re. Ekkor a súlyozott középérték

${\bar {f}}={\frac {\int _{a}^{b}f(t)w(t)\mathrm {d} t}{\int _{a}^{b}w(t)\mathrm {d} t}}$.

Az $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ mértéktérben, ahol $\mu (\Omega )<\infty$, a Lebesgue-integrálható függvények középértéke

${\bar {f}}:={\frac {1}{\mu (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)$.

Valószínűségi tér esetén, ahol $\mu (\Omega )=1\;$, a középérték az

${\bar {f}}:=\int _{\Omega }f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)$

alakra hozható, ami éppen az f(x) várható értéke.

Kapcsolat más közepekkel

Legyen f egy I intervallumon értelmezett szigorúan növő folytonos függvény. Legyenek továbbá adva a $w_{i},0\leq w_{i}\leq 1,\sum _{i}w_{i}=1$ súlyok. Ekkor az $x_{i}\in I$ számok $w_{i}$-vel súlyozott kvázi-aritmetikus közepe

${\bar {x}}_{f}=f^{-1}\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})\right)$.

Nyilván

$\min(x_{i})\leq {\bar {x}}_{f}\leq \max(x_{i}).$

Így a különböző f függvényekkel különböző közepek definiálhatók. $f(x)=x$ visszaadja a számtani közepet, $f(x)=\log(x)$ a mértani közepet, és $f(x)=x^{k}$ a k-adik hatványközepet.

Mindezek a közepek függvényekre is általánosíthatók. Ehhez azt kell még kikötni, hogy az f függvény értelmezési tartománya tartalmazza az u függvény képhalmazát. Ekkor az u függvény középértéke:

${\bar {u}}_{f}=f^{-1}\left({\frac {\int f(u(t))w(t)\mathrm {d} t}{\int w(t)\mathrm {d} t}}\right)$

Lásd még

• kváziaritmetikai közép (általánosítás)
• A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség
• A számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség

Külső link

• A középértékek és a lemniszkáta