Riemann-integrál

Az integrál mint a függvénygörbe alatti terület

A matematikai analízisben az érintőprobléma mellett a másik jelentős témakör a kvadratúra problémája, vagyis a függvénygörbe alatti terület meghatározása, azaz az integrálás.

Szemléletesen az integrálás feladata azt meghatározni, hogy adott [a,b] zárt intervallumon értelmezett, pozitív értékeket felvevő függvény esetén mekkora területű síktartományt határol a függvény görbéje, az x tengely, valamint az x = a és az x = b egyenes. Valójában ez a másik irányban igaz: Az integrálás segítségével definiálható az említett görbével határolt terület nagysága.

Folytonos függvények integráljára először Cauchy adott minden esetben ellenőrizhető eredményt szolgáltató definíciót. Riemann kérdése az volt, hogy milyen – nem feltétlenül folytonos – függvények esetén értelmes még integrálról beszélni. Ő alkotott először általános definíciót az integrálható függvények osztályának értelmezésére. Azokat a függvényeket, amelyek ennek a definíciónak megfelelnek, Riemann-integrálhatónak nevezzük.

Riemann definíciója

Az integrál jellemzői az integrálandó f(x) függvény és az [a,b] intervallum, amin integrálunk. Az a-t az integrál alsó határának, a b-t az integrál felső határának nevezzük.

Integrálható (azon belül folytonos) függvény.

Osszuk fel az intervallumot n részre valamilyen $F_{n}=\{x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$ halmazzal, ahol $a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b$. Ezt az F_n halmazt az [a,b] intervallum egy felosztásának nevezzük. A felosztás finomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Ennek a jele legyen: $d(F_{n})$

Az integrálási intervallum egy három részintervallumból álló felosztása

Mindegyik [x_i-1, x_i] részintervallumból (1 ≤ i ≤ n) válasszunk ki tetszőlegesen egy ξ_i elemet.

Állítsunk f(ξ_i) magasságú téglalapokat a részintervallumokra, majd összegezzük ezek területét, így megkapjuk az adott felosztással adódó területet, amit közelítő összegnek nevezünk:

$\sigma (F_{n})=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})$

Ezt a $\Delta x_{i}=(x_{i}-x_{i-1})$ jelöléssel a következőképp is felírhatjuk:

$\sigma (F_{n})=\sum _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}}=f(\xi _{1})\Delta x_{1}+f(\xi _{2})\Delta x_{2}+\,\cdots \,+f(\xi _{n})\Delta x_{n}$

A felosztásokból az intervallumok számának növelésével készíthetünk végtelen sorozatokat: $\{F_{n}\}=F_{1},F_{2},F_{3},F_{4},\ldots$. Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak. Ha egy olyan felosztássorozatot veszünk, melyre a $\{d(F_{n})\}=d(F_{1}),d(F_{2}),\ldots$ sorozat a nullához tart, akkor a felosztássorozatot normális felosztássorozatnak vagy minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzük.

Normális felosztássorozat első tagjai

Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható az [a,b] intervallumon, és a határértékét a függvény Riemann-integráljának nevezzük. Jele: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ vagy röviden: $\int _{a}^{b}f$.

$d(F_{n})\to 0\Rightarrow \sigma (F_{n})\to \int _{a}^{b}f$

Összefoglalva:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\cdot (x_{i}-x_{i-1})$

ahol

$a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b$

$x_{i-1}\leq \xi _{i}\leq x_{i}$

$\lim _{n\to \infty }\max \left\{x_{i}-x_{i-1}|1\leq i\leq n\right\}=0$

Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható.

Az alsó és a felső integrálközelítő összeg

Ha a $\sigma _{n}$ összegben az $f(\xi _{i})$ helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk, akkor a (Darboux-féle) felső integrálközelítő összeghez jutunk: $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}{M_{i}(x_{i}-x_{i-1})}$, ahol $M_{i}$ a függvény felső határa (supremuma) az $[x_{i-1},x_{i}]$ intervallumon.

Hasonló a (Darboux-féle) alsó integrálközelítő összeg definíciója is: $s_{n}=\sum _{i=1}^{n}{m_{i}(x_{i}-x_{i-1})},$ ahol $m_{i}$ az függvény alsó határa (infimuma) az $[x_{i-1},x_{i}]$ intervallumon.

Amennyiben létezik az $\int _{a}^{b}f$ integrál, akkor $s_{n}\leq \int _{a}^{b}f\leq S_{n}$. Ily módon az integrált „két érték közé tudjuk szorítani”.

A primitív függvény fogalma és a Newton-Leibniz-formula

Az $I$ (véges vagy végtelen) intervallumon értelmezett f függvény primitív függvényének nevezzük az F függvényt, ha F'(x)=f (x) teljesül bármely $x\in I$ esetén. (Azaz ha F deriváltja az eredeti f függvény.)

Ha egy F(x) függvény primitív függvény, akkor F(x)+C is az, ahol C tetszőleges valós szám, hiszen konstans hozzáadása a deriváltat nem változtatja meg. Az is bebizonyítható, hogy az összes primitív függvény felírható F(x)+C alakban. Összefoglalva tehát egy függvénynek végtelen sok primitív függvénye van, de ezeket konstans hozzáadásával megkapjuk egymásból.

Ez grafikusan is könnyen belátható. A derivált a függvény „változási gyorsaságát” jelenti, azaz a grafikonjának a meredekségét. Ha hozzáadunk egy konstanst, akkor a függvény képe függőlegesen eltolódik. Nyilván ezzel minden pontban ugyanaz marad a meredeksége. A három grafikonon ábrázolt függvény deriváltfüggvénye tehát ugyanaz lesz.

Az f(x) legyen a sin x függvény. Ennek egyik primitív függvénye a -cos x függvény, hiszen (-cos x)' = sin x, de a -cos x +5 függvény is primitív függvény. Általánosan fogalmazva egy függvény pontosan akkor primitív függvénye a sin x függvénynek, ha felírható -cos x +C alakban, ahol C valós szám.

Bebizonyítható, hogy a határozott integrál a következőképpen számolható:
Newton–Leibniz-formula: $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x={\Big [}F(x){\Big ]}_{a}^{b}$, ahol az F függvény az f függvény egyik primitív függvénye, a ${\Big [}F(x){\Big ]}_{a}^{b}$ pedig egy új jelölés az F(b)-F(a) kifejezésre.

$\int _{\pi }^{\frac {3\pi }{2}}\sin x\,\mathrm {d} x={\Big [}-\cos x{\Big ]}_{\pi }^{\frac {3\pi }{2}}=-\cos {\frac {3\pi }{2}}-(-\cos \pi )=0-1=-1$

A szinuszfüggvényt felrajzolva, a kapott eredmény előjele nem meglepő, hiszen a kérdéses intervallumon a függvényérték végig negatív.

Határozatlan integrál

A primitív függvények halmazát határozatlan integrálnak vagy antideriváltnak nevezzük. Ezt a halmazt vagy gyakrabban annak egy általános elemét $\int f(x)\,\mathrm {d} x$ vagy röviden $\int f$ jelöli.

Nevezetes függvények primitív függvényei

$\int \sin(x)\,\mathrm {d} x=-\cos x+C$, ahol C tetszőleges valós szám.

$\int a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,\mathrm {d} x={\frac {a_{n}}{n+1}}x^{n+1}+{\frac {a_{n-1}}{n-1+1}}x^{n+1-1}+...+{\frac {a_{2}}{3}}x^{3}+{\frac {a_{1}}{2}}x^{2}+a_{0}x+C$, ahol C tetszőleges valós szám.

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{x}}=ln|x|+C$, ahol C tetszőleges valós szám.

$\int e^{x}\,\mathrm {d} x=e^{x}+C$, ahol C tetszőleges valós szám.

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{\cos ^{2}(x)}}=\tan(x)+C$, ahol C tetszőleges valós szám.

$\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\arctan(x)+C$, ahol C tetszőleges valós szám.

Integrálási szabályok

Az integrálási szabályok levezethetőek a deriválási szabályokból. Példák (f,g függvények, c valós konstans) :

$\int f+g\,\mathrm {d} x=\int f\,\mathrm {d} x+\int g\,\mathrm {d} x$

$\int f-g\,\mathrm {d} x=\int f\,\mathrm {d} x-\int g\,\mathrm {d} x$

$\int c\cdot f\,\mathrm {d} x=c\cdot \int f\,\mathrm {d} x$

$\int f(a\cdot x+b)\,\mathrm {d} x={\frac {F(a\cdot x+b)}{a}}+c$, ahol $a$ és $b$ valós szám és $F$ az $f$ függvénynek egy primitív függvénye.

$\int f\cdot g'\,\mathrm {d} x=f\cdot g-\int f'\cdot g\,\mathrm {d} x$

$\int f(g(x))\cdot g'(x)\,\mathrm {d} x=F(g(x))+c$, ahol $F$ a $f$ egy primitív függvénye.

$\int f^{n}\cdot f'\,\mathrm {d} x={\frac {f^{n+1}}{n+1}}+C$, ahol C tetszőleges valós szám.

$\int {\frac {f'}{f}}\,\mathrm {d} x=ln|f|+C$, ahol C tetszőleges valós szám.

A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma

Egy $[a,b]$ intervallumon értelmezett függvény pontosan akkor Riemann-integrálható, ha korlátos és $[a,b]$ majdnem minden pontjában folytonos (tehát a szakadási pontok halmaza a Lebesgue-mérték szerint nullmértékű).

Egyéb integrálok

Bár a Riemann-integrál a leggyakrabban használt integrál, van sok egyéb integrálfogalom:

• Banach-integrál
• Burkill-integrál
• Daniell-integrál
• Darboux-integrál, a Riemann-integrál egy variációja
• Denjoy-integrál, a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása
• Dirichlet-integrál
• Euler-integrál
• Fejér-integrál
• Haar-integrál
• Henstock-Kurzweil-integrál, a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása (HK-integrál, valamint Kurzweil-Henstock-integrál néven is)
• Henstock-Kurzweil-Stieltjes integrál (HK-Stieltjes-integrál néven is)
• Itô-integrál
• Itô-Stieltjes-integrál
• Lebesgue-integrál
• Lebesgue-Stieltjes-integrál (Lebesgue-Radon-integrál néven is)
• mérték szerinti integrál, az integrálfogalom legfontosabb mértékelméleti általánosítása
• Perron-integrál, ami ekvivalens a tiltott Denjoy-integrállal
• Poisson-integrál
• Radon-integrál
• Stieltjes-integrál, a Riemann-integrál kiterjesztése (Riemann-Stieltjes-integrálnak is nevezik)
• sztochasztikus integrál
• Wiener-integrál
• Young-féle integrál

Források

• Durszt E. (1995): Bevezetés a mérték- és integrálelméletbe. JATEPress, Szeged.
• Imreh Cs. (1997): A Riemann-integrál egy általánosításáról. Polygon, VII. 2. 15-34. o.
• Leindler L. (1995): A funkcionálanalízis elemei. JATEPress, Szeged.
• Medvegyev P. (2004): Szochasztikus analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
• Mikolás M. (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.