„Uniform tér” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
→Definíció: pszeudometrikával |
→Pszeudometrikával: pszeudometrikák általi def; visszanyerhetőség |
||
37. sor: | 37. sor: | ||
:<math>F:=\{d^{-1}([0;a[)| a\in \Bbb R_+ \} </math> |
:<math>F:=\{d^{-1}([0;a[)| a\in \Bbb R_+ \} </math> |
||
Ez a ''d'' pszeudometrika által definiált fundamentális rendszer. |
Ez a ''d'' pszeudometrika által definiált ''fundamentális rendszer''. |
||
Ha pszeudometrikák egy családja által definiált fundamentális rendszerről van szó, akkor az így előállt legdurvább uniform struktúra a család által definiált uniform struktúra. |
|||
A megszámlálható fundamentális rendszerrel megadott uniform terekből visszanyerhető a pszeudometrika. |
|||
==Kapcsolat más struktúrákkal== |
==Kapcsolat más struktúrákkal== |
A lap 2010. augusztus 27., 15:13-kori változata
Matematikában, azon belül a topológia területén használatos fogalom az uniform tér, ami az egyenletes tulajdonságokat (teljesség, egyenletes konvergencia, egyenletesen folytonos) igyekszik megragadni. Egy uniform tér nem más, mint egy uniform struktúrával felruházott halmaz. Erősebb, mint egy topologikus tér (minden uniform tér egyben topologikus tér is), de általánosabb, mint egy metrikus tér vagy egy topologikus csoport.
Definíció
Környékekkel
Egy uniform tér egy halmaz-párból áll, , ahol a tér alaphalmaza, pedig a környékek (franciául entourage) halmaza, a következő feltételekkel:
- Minden tartalmazza az átlót:
- Ha , és , akkor
- Ha , akkor
- Ha , akkor létezik egy eleme -nek, hogy valahányszor és , akkor
- Minden -hez annak „tükörképe”, is eleme -nek.
Uniform fedéssel
Az páros uniform tér, ha X alaphalmaz, és Θ fedések egy családja, amikre teljesülnek a következők:
- {X} eleme Θ-nak.
- Legyenek a P fedés Θ eleme, és legyen Q fedés, hogy minden A∈P-hez van U∈Q, hogy U tartalmaz minden P-beli B halmazt, ami nem diszjunkt A-tól. Ezt úgy nevezzük, hogy a P fedés a Q fedés finomítása. Ekkor Q∈Θ.
- Ha a P és a Q fedés is eleme Θ-nak, akkor van közös finomításuk Θ-ban.
Θ elemei az uniform fedések, és Θ fedési struktúra.
Tekintve egy P uniform fedést, és egy x eleme X pontot, az x-et tartalmazó P-beli halmazok egyesítése x P méretű környezete. Ez a mérték az egész térre kiterjeszthető.
A két megadási mód könnyen átváltható egymásba. Legyen ugyanis az uniform tér környékekkel megadva. Ekkor egy P fedés uniform, ha minden x∈X-hez van U[x]⊆A környék, ahol A∈P. Az ilyen fedések az uniform tér fedési struktúráját adják.
Legyen most az uniform tér fedési struktúrával adva. Ekkor az ∪{A×A: A∈P}-ket tartalmazó halmazok az adott uniform tér szomszédságai, ahol P végigfut a tér uniform fedésein. Ez a két transzformáció egymás inverze.
Pszeudometrikával
Jelölje X az alaphalmazt, és legyen a leképezés pszeudometrika:
- szimmetria
- háromszög-egyenlőtlenség
Tekintsük most a következőkben megadott F rendszert:
- ,
Ez a d pszeudometrika által definiált fundamentális rendszer. Ha pszeudometrikák egy családja által definiált fundamentális rendszerről van szó, akkor az így előállt legdurvább uniform struktúra a család által definiált uniform struktúra.
A megszámlálható fundamentális rendszerrel megadott uniform terekből visszanyerhető a pszeudometrika.
Kapcsolat más struktúrákkal
Bármely metrikus térhez hozzárendelhető egy uniform struktúra oly módon, hogy egy pontosan akkor lesz környék, ha létezik egy valós szám, hogy minden , párra, ha , akkor benne van -ben.
Egy topologikus csoport uniform struktúrája úgy definiálható, hogy egy halmaz pontosan akkor legyen környék, amennyiben létezik az egységelemnek egy környezete, hogy része -nek.
Minden uniform téren természetes módon értelmezhető egy topologikus struktúra, nevezetesen egy halmaz pontosan akkor legyen nyílt, ha bármely -hez létezik egy olyan környék, hogy (-nek -szel vett szelete, azaz ) része legyen -nek. Két különböző uniform térnek lehet azonos a topologikus struktúrája.