Idempotencia

A matematikában az idempotencia a kétváltozós matematikai műveletek egy tulajdonsága. Idempotensnek nevezzük egy algebrai struktúra valamely elemét a struktúra egy adott kétváltozós műveletére nézve, ha azokban az esetekben, amikor a művelet mindkét operandusa megegyezik az adott elemmel, akkor a művelet eredménye is megegyezik az operandusokkal, azaz a megadott elemmel. Idempotens műveletről beszélünk, ha az adott műveletre nézve a struktúra minden eleme idempotens.

Gyűrűk esetén az idempotenciát mindig a gyűrű szorzás műveletére nézve vizsgáljuk.

Definíció

Legyen $(A;\cdot )$ tetszőleges grupoid. Ha valamely $a\in A$ elemre teljesül, hogy $a\cdot a=a$, akkor azt mondjuk, hogy az $a\in A$ idempotens elem az $(A;\cdot )$ grupoidban. Ha minden $a\in A$ elemre teljesül, hogy $a\cdot a=a$, akkor azt mondjuk, hogy a $\cdot$ művelet idempotens az $(A;\cdot )$ grupoidban.

Tulajdonságok

• Gyűrű minden olyan idempotens eleme, amely nem nulla és nem egység, zérusosztó.
• Bármely $(A;\cdot )$ félcsoport tetszőleges $a\in A$ idempotens elemére akkor és csak akkor teljesül a bal oldali egyszerűsítési szabály, ha $a$ balegységelem.

Példák

• Az egyesítés és metszetképzés bármely, halmazokból álló alaphalmazon értelmezve idempotens.

Idempotens műveletek struktúrákban

• Háló metszet és egyesítés műveletei

Lásd még

• Asszociativitás
• Kommutativitás
• Disztributivitás

Hivatkozások

• Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
• Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)