„Háromszög-egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
→A tétel általánosításai: összegek és integrálok |
a →Forrás: refek megjelenítése |
||
135. sor: | 135. sor: | ||
:<math>\left|\int_I f(x)\, dx\right| =\int_I\operatorname{Re}(\alpha f(x))\, dx \le \int_I|f(x)|\, dx</math>. |
:<math>\left|\int_I f(x)\, dx\right| =\int_I\operatorname{Re}(\alpha f(x))\, dx \le \int_I|f(x)|\, dx</math>. |
||
== |
== Források == |
||
{{források}} |
|||
* Obádovics J. Gyula: Matematika |
* Obádovics J. Gyula: Matematika |
||
A lap 2010. július 30., 15:10-kori változata
A háromszög-egyenlőtlenség a trigonometria egyik legfontosabb tétele, megállapítható segítségével, hogy három szakaszból lehet-e háromszöget szerkeszteni.
Az egyenlőtlenség tovább általánosítható valós és komplex számokra, összegzésekre, integrálokra, és különböző terekre. Itt a hosszak szerepét abszolútértékek és különféle normák veszik át. Leginkább becslésekben használják a matematika több területén is.
A tétel
A háromszög bármely oldalának hossza kisebb a másik két oldal hosszának összegénél. Azaz: , és .
A tétel ekvivalens alakja: , és
Bizonyítás:
-t elég bizonyítani. Hosszabbítsuk meg az oldalt, és felmérjük a távolságot a meghosszabbított félegyenesre, így kapjuk a szakaszt. háromszög egyenlő szárú, ekkor szög = szög. az szög belsejében halad, ekkor szög > szög = szög, így . Ez viszont éppen a tételben szereplő .
Metrikus interpretáció
A háromszög-egyenlőtlenség biztosítja, hogy a kétdimenziós (általánosabban, az n-dimenziós) euklideszi tér tetszőleges három A,B,C pontjára igaz legyen, hogy bármely kettő pár egymástól mért távolságainak összege nagyobb, mint a harmadik pár közt mért távolsága:
Ezt a tényt úgy is interpretálhatjuk, hogy "két pont között a legrövidebb út az egyenes", mert a háromszög-egyenlőtlenség egy speciális esete e kijelentésnek, míg utóbbi következménye az előbbinek.
A tétel általánosításai
Valós számokra
Valós számokra:
Bizonyítás:
Mivel az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:
Mindkét oldalból kivonva az azonos tagokat:
és ez mindig teljesül, mert
minden -re.
Valós számokra önállóan is belátható a háromszög-egyenlőtlenség kivonásos alakja:
Nyilván
Az
helyettesítéssel
Viszont, ha
akkor
Az előző két egyenlőtlenséget összetéve
y helyére -y-t téve
Összefoglalva
- minden -re.
Komplex számokra
Komplex számokra a háromszög-egyenlőtlenség::
Bizonyítás:
Mivel egyik oldal sem lehet negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:
ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelenti. A két oldalról eltávolítva az egyenlő tagokat, és a helyettesítést elvégezve
A z komplex szám algebrai alakja legyen . Ezzel
és
ami és a valós négyzetgyökfüggvény monotóniája miatt mindig fennáll.
A valós esethez hasonlóan látható be a kivonásos alak is
- minden -re.
Összegekre és integrálokra
A háromszög-egyenlőtlenség többszöri alkalmazásával és teljes indukcióval
ahol az számok lehetnek valósak, vagy komplexek.
Integrálokra: Legyen az függvény Riemann-integrálható, ahol egy intervallum!
Ekkor
- .[1]
Hasonlók teljesülnek komplex értékű függvényekre is:
,[2].
Ekkor ugyanis van egy komplex úgy, hogy és .
Mivel
valós, ezért szükségképpen egyenlő nullával.
Emellett
- ,
összetéve tehát
- .
Források
- ↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 8. kiadás. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Satz 85.1
- ↑ Walter Rudin: Real and Complex Analysis. MacGraw-Hill 1986, ISBN 0-07-100276-6. Theorem 1.33
- Obádovics J. Gyula: Matematika