„Háromszög-egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a elírás jav |
az egyenlőtlenség általánosítása |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
A '''háromszög-egyenlőtlenség''' a trigonometria egyik legfontosabb tétele, megállapítható segítségével, hogy három szakaszból lehet-e háromszöget szerkeszteni. |
A '''háromszög-egyenlőtlenség''' a trigonometria egyik legfontosabb tétele, megállapítható segítségével, hogy három szakaszból lehet-e háromszöget szerkeszteni. |
||
Az egyenlőtlenség tovább általánosítható [[valós számok|valós]] és [[komplex számok]]ra, összegzésekre, integrálokra, és különböző terekre. Itt a hosszak szerepét [[abszolútérték-függvény|abszolútértékek]] és különféle [[norma (matematika)|normák]] veszik át. Leginkább becslésekben használják a matematika több területén is. |
|||
== A tétel == |
== A tétel == |
||
A [[háromszög]] bármely oldalának hossza kisebb a másik két oldal hosszának összegénél. Azaz: |
A [[háromszög]] bármely oldalának hossza kisebb a másik két oldal hosszának összegénél. Azaz: |
A lap 2010. július 30., 14:27-kori változata
A háromszög-egyenlőtlenség a trigonometria egyik legfontosabb tétele, megállapítható segítségével, hogy három szakaszból lehet-e háromszöget szerkeszteni.
Az egyenlőtlenség tovább általánosítható valós és komplex számokra, összegzésekre, integrálokra, és különböző terekre. Itt a hosszak szerepét abszolútértékek és különféle normák veszik át. Leginkább becslésekben használják a matematika több területén is.
A tétel
A háromszög bármely oldalának hossza kisebb a másik két oldal hosszának összegénél. Azaz: , és .
A bizonyítás
-t elég bizonyítani. Hosszabbítsuk meg az oldalt, és felmérjük a távolságot a meghosszabbított félegyenesre, így kapjuk a szakaszt. háromszög egyenlő szárú, ekkor szög = szög. az szög belsejében halad, ekkor szög > szög = szög, így . Ez viszont éppen a tételben szereplő .
Metrikus interpretáció
A háromszög-egyenlőtlenség biztosítja, hogy a kétdimenziós (általánosabban, az n-dimenziós) euklideszi tér tetszőleges három A,B,C pontjára igaz legyen, hogy bármely kettő pár egymástól mért távolságainak összege nagyobb, mint a harmadik pár közt mért távolsága:
Ezt a tényt úgy is interpretálhatjuk, hogy "két pont között a legrövidebb út az egyenes", mert a háromszög-egyenlőtlenség egy speciális esete e kijelentésnek, míg utóbbi következménye az előbbinek.
Forrás
- Obádovics J. Gyula: Matematika