Parabola (görbe)

Parabola

Ez a szócikk egy matematikai fogalomról szól. A parabola más jelentéséhez kattints ide.

A parabola (a görög παραβολή-ből) egy kúpszelet, melyet körkúp-felület és sík metszésekor kapunk, ha a sík párhuzamos a kúp alkotójával. A parabolát úgy is lehet definiálni, hogy azon pontok mértani helye a síkban, melyek egyenlő távolságra vannak egy adott ponttól (fókuszpont, vagy gyújtópont) és egy ezen a ponton át nem haladó adott egyenestől (direktrix, vezéregyenes).

Különleges eset lép fel, ha a metszősík a kúpfelület érintősíkja. Ebben az esetben a parabola metszesvonal egyenessé fajul.

Definíciók és áttekintés

A parabola, mint tükör, a fókusz, a direktrix (zöld) és a vezérsugarak (kék)

A parabola egyenletei

Descartes-féle koordináta-rendszerben egy, az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabolának egyenlete, melynek csúcsa (h, k), fókuszpontja (h, k + p) és direktrixe y = k - p, ahol p a fókusz távolsága a csúcstól:

$(x-h)^{2}=4p(y-k)\,$

vagy:

$(y-k)={\frac {1}{4p}}(x-h)^{2}\,$

Általánosabban: a parabola olyan görbe, mely a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben az alábbi alakú egyenlettel definiálható:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,$

ahol $B^{2}=4AC\,$, az összes együttható valós, A és C nem zéró, és ahol több, mint egy megoldás, mely egy (x, y) pontpárt definiál a parabolán, létezik. Az egyenlet nem redukálható, ez azt jelenti, hogy az egyenlet nem szorzata két szükségszerűen független lineáris tényezőnek.

Más geometriai definíciók

Diáknóta a paraboláról

A parabolát úgy is lehet definiálni, hogy az egy olyan kúpszelet, melynek excentricitása 1. Ennek következményeképpen minden parabola hasonló egymáshoz. A parabola úgy is meghatározható, hogy azoknak az ellipsziseknek a határesete, melyeknek egyik fókuszpontja rögzített, a másik fókuszt pedig tetszőleges távolságba mozdítjuk el. Ebben az értelemben parabola ellipszisként fogható fel, melynek egyik fókusza a végtelenben van. A parabola a kardioid inverz transzformáltja.

A parabolának egyetlen tükörtengelye van, mely a fókuszán halad át és merőleges a direktrixére. A parabola és tengelye metszéspontját a parabola csúcsának nevezik. Ha a parabolát megforgatjuk tengelye körül, a súrolt felület a forgási paraboloid.

Egyenletek

Az egyenletekben szereplő jelölések: (h, k) az ellipszis csúcspontja, p a csúcspont és a fókuszpont közötti távolság (ha a csúcspont a fókusz alatt van vagy, ami ugyanezt jelenti, a direktrix felett, akkor p pozitív egyébként p negatív, hasonlóan vízszintes parabola-tengely esetén p pozitív, ha a csúcspont balra van a fókusztól, vagy ami ugyanazt jelenti, jobbra a direktrixtől.

Descartes-féle koordináta-rendszer

Függőleges szimmetria-tengely

$(x-h)^{2}=4p(y-k)\,$

$y=a(x-h)^{2}+k\,$

$y=ax^{2}+bx+c\,$

${\mbox{ahol }}a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-h}{2p}};\ \ c={\frac {h^{2}}{4p}}+k;\ \$

$h={\frac {-b}{2a}};\ \ k={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$.

Paraméteres egyenletek:

$x(t)=2pt+h;\ \ y(t)=pt^{2}+k\,$

Vízszintes szimmetria-tengely

$(y-k)^{2}=4p(x-h)\,$

$x=a(y-k)^{2}+h\,$

$x=ay^{2}+by+c\,$

${\mbox{ahol }}a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-k}{2p}};\ \ c={\frac {k^{2}}{4p}}+h;\ \$

$h={\frac {4ac-b^{2}}{4a}};\ \ k={\frac {-b}{2a}}$.

Paraméteres egyenletek:

$x(t)=pt^{2}+h;\ \ y(t)=2pt+k\,$

Általános parabola

Általános egyenlet olyan parabolának melynek fókuszpontja F(u, v), és vezéregyenesének egyenlete

$n_{1}x+n_{2}y+c=0\,$

az

${\frac {\left|n_{1}x+n_{2}y+c\right|}{\sqrt {{n_{1}}^{2}+{n_{2}}^{2}}}}={\sqrt {\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}}}\,$

Semi-latus rectum és polárkoordináták

Polárkoordináták esetén, ha a parabola fókusza az origóban van, és a csúcsa a negatív x-tengelyen helyezkedik el, az egyenlet:

$r(1-\cos \theta )=l\,$

ahol l a semi-latus rectum: a távolság a fókuszponttól a paraboláig a tengelyre merőleges egyenesen mérve.

A parabola ívhossza

A parabola ívhossza

A parabola ívhossza az O csúcsponttól az M pontig a következő (p a parabola paramétere):

$OM={\sqrt {x\left({x+{\frac {p}{2}}}\right)}}+{\frac {p}{2}}{\rm {arsh}}{\sqrt {\frac {2x}{p}}}$

${\frac {x}{y}}$ kis értékeire érvényes a következő közelítő formula:

$OM\approx y\left[{1+{\frac {2}{3}}\left({\frac {x}{y}}\right)^{2}-{\frac {2}{5}}\left({\frac {x}{y}}\right)^{4}}\right]$

Parabolatükör

Ha parabola alakú tükör fókuszába fényforrást helyezünk, a teljes parabola felület a fénysugarakat a tengellyel párhuzamos nyalábban fogja visszatükrözni. Ezt a tulajdonságát használják fényszórók készítésére. Fordítva, ha gyakorlatilag párhuzamos fénnyaláb a tengellyel egyirányban vetődik a parabola alakú tükör felületére, a visszavert sugarak a fókuszban találkoznak. Ha elég nagy a parabola tükör felülete, a Nap összegyűjtött sugarai képesek meggyújtani a fókuszba helyezett gyúlékony anyagot, ezért is hívják a fókuszt gyújtópontnak. A parabolatükröknek ezt a tulajdonságait napkemecék és napkazánok építésénél hasznosítják.

Parabola és a fizika

A parabola nagyon sok fizikai jelenségben megtalálható. A legismertebb jelenség a egy test hajításának parabolikus pályája állandó gravitációjú térben, ha nem hat a légellenállás. Ezt a jelenséget Galilei fedezte fel a 17. század elején, amikor kísérleteket végzett golyók lejtőn való legördülésével. A pálya parabola alakját később Isaac Newton az álatal felállított mozgásegyenletekből levezetve magyarázta. Kiterjedt test esésekor, például műugró ugrásakor a test bonyolult mozgásokat végezhet, foroghat stb. de a test tömegközéppontja parabolikus pályán mozog. A parabola pálya, mint alegtöbb esetben itt is csak közelítés. A légellenállás torzítja a pálya alakját, de ez kis sebességeknél elhanyagolható. Nagyobb sebességeknél az az elhanyagolás nem megengedett, a ballisztika más hatásokat is figyelembe vesz.

Forgó folyadék parabola alakú felszine.

A kéttestproblémánál például egy kisbolygónak a Nap gravitációs tere következtében fellépő mozgása folyamán is felléphet parabola alakú pálya. Az ilyen parabola alakú pálya speciális eset és ritkán fordul elő a természetben. A hiperbola vagy ellipszis alakú pályák sokkal gyakoribbak. A parabola alakú pálya az előbbiek határesete.

Parabolikus boltívek a moszkvai Arbatszkaja metróállomáson.

A parabola közelítést a függőhidak kábeleinek alakjánál is használják. A kifeszített kötél pontos alakja ugyan láncgörbe szerinti, de kis belógások esetén jó közelítést ad a parabolával való helyettesítés is.

Forgási paraboloidok szintén gyakran előfordulnak a fizikában. A legismertebb példa a parabolikus tükör, mely fényt vagy más elektromágneses sugárzást (például rádióhullámokat) a fókuszpontba gyűjt. A parabolikus tükröt i. e. 3. században Arkhimédész találta fel, aki a legenda szerint parabolikus tükröt szerkesztett, hogy megvédje Siracusa városát a római hajóhad támadása ellen úgy, hogy a nap sugarait a római hajók fedélzetére koncentrálta és így felgyújtotta azokat. A parabolikus tükröt a 17. században távcsövek készítésére is használni kezdték, a legnagyobb csillagászati távcsövek ma is tükrös teleszkópok. Ma parabolikus antennákat használnak elterjedten a mikrohullámú és mesterséges holdakkal folytatott távközlésben.

A forgó folyadék felszíne szintén parabola alakot vesz fel. Ez a jelenség az alapja a folyékony tükör teleszkópok működésének.

Lásd még

• Kúpszeletek
• Láncgörbe
• Paraboloid
• Hiperbola
• Ellipszis

Külső hivatkozások

A Wikimédia Commons tartalmaz Parabola (görbe) témájú médiaállományokat.

• Archimedes háromszög
• Parabola két érintője
• Parabolát burkoló egyenesek
• Parabolikus tükör
• Parabola burkolói II
• Parabola szerkesztése

Források

• I.N. Bronstejn-K.A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 6. kiadás (Műszaki könyvkiadó, Budapest 1987.)
• Pattantyús Gépész és villamosmérnökök kézikönyve 2. kötet Műszaki könyvkiadó, Budapest 1961.)