„Ötödfokú egyenlet” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
csonk |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
4. sor: | 4. sor: | ||
:<math>ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,\,</math> |
:<math>ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,\,</math> |
||
ahol <math>a, b, c, d, e, f\,</math> egy [[Test_(algebra)|test]] elemei, általában a [[racionális szám]]ok, a [[valós szám]]ok, vagy a [[komplex szám]]ok elemei, valamint <math>a \neq 0.</math> |
ahol <math>a, b, c, d, e, f\,</math> egy [[Test_(algebra)|test]] elemei, általában a [[racionális szám]]ok, a [[valós szám]]ok, vagy a [[komplex szám]]ok elemei, valamint <math>a \neq 0.</math> |
||
Mivel páratlan fokú, ezért általában hasonlít a képe a harmadfokú egyenlet képéhez, azzal a kivétellel, hogy egy további lokális maximum és minimum pontja van. A deriváltja egy negyedfokú függvény. |
|||
== Ötödfokú egyenlet gyökeinek meghatározása == |
|||
Egy polinom gyökeinek meghatározása — azon <math>x</math> értékek, melyek teljesítik az egyenletet — racionális együtthatók esetében kiemelkedő matematikai probléma volt. |
|||
Lineáris, másod-, harmad- és negyedfokú egyenletek megoldása egyszerű, függetlenül attól, hogy a gyökök racionálisak, irracionálisak, valósak vagy komplexek; vannak megoldóképleteik. Azonban nincs olyan képlet, ami a négy alapművelet és az <math>n</math>-edik gyökvonás segítségével kifejezhetné a megoldásokat általános esetben; ez az Abel-Ruffini tétel, melyet először 1824-ben publikáltak mint az egyik első alkalmazását az algebrai [[csoportelmélet]]nek. Ez az eredmény igaz magasabb fokú egyenletekre is. Egy példa olyan egyenletre mely nem fejezhető így ki a <math>x^5 - x + 1 = 0</math>. Ez az egyenlet Bring-Jerrard normál alakban van. |
|||
A gyakorlatban ploinomegyenletek pontos megoldása gyakran felesleges és más numerikus megoldó módszerek, mint például a [[Laguerre módszer]], vagy a [[Jenkins-Traub algoritmus]] valószínűleg a legalkalmasabbak arra, hogy megkapjuk általános ötöd vagy magasabb fokú egyeletek közelítő megoldásait. Azonban a pontos megoldások néha hasznosak bizonyos alkalmazásokhoz és sok matematikus próbálta meghatározni ezeket. |
|||
== Megoldható ötödfokú egyenletek == |
|||
Néhány ötödfokú egyenlet megoldható úgy, hogy alacsonyabb fokú polinomok szorzataként fejezzük ki, például <math>x^5 - x^4 - x + 1 = 0\,</math> felírható mint <math>(x^2 + 1) (x + 1) (x - 1)^2 = 0\,</math>. Más ötödfokú egyenlet mint például a <math>x^5 - x + 1 = 0\,</math> nem fejezhető ki ilyen alakban. [[Évariste Galois]] kifejlesztett eljárásokat annak meghatározására, hogy egy polinom-egyenlet mikor fejezhető ki polinomok szorzataként, ezzel megalkotva a [[Galois elmélet]] területét. Ezeket az eljárásokat először [[John Stuart Glashan]], [[George Paxton Young]], és [[Carl Runge]] alkalmazta [[1885]]-ben, hogy általános kritériumot adjanak a megoldhatóságra (Lazard egy modern megközelítése található a referenciákban). |
|||
Azt találták, hogy bármely [[Irreducibilis polinom|irreducibilis]] ötödfukó polinom racionális együtthetókkal [[Erland Samuel Bring|Bring]]-[[George Jerrard|Jerrard]] formában, |
|||
:<math>x^5 + ax + b = 0\,</math> |
|||
gyökökkel kifejezhető megoldású akkor és csak akkor, ha a következő alakú: |
|||
:<math>x^5 + \frac{5\mu^4(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1}x + \frac{4\mu^5(2\nu + 1)(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1} = 0</math> |
|||
ahol <math>\mu</math> és <math>\nu</math> racionálisak. [[1994]]-ben, Blair Spearman és Kenneth S. Williams egy alternatív kritériumot talált, |
|||
:<math>x^5 + \frac{5e^4(\pm 4c + 3)}{c^2 + 1}x + \frac{-4e^5(\pm 11+2c)}{c^2 + 1} = 0.</math> |
|||
A kapcsolatot a [[1885]]-i és a [[1994]]-i parametrizáció között egyszerűen látható, ha a következőt definiáljuk |
|||
:<math>b = \frac{4}{5} \left(a+20 \pm 2\sqrt{(20-a)(5+a)}\right)</math> |
|||
ahol |
|||
:<math>a = \frac{5(4\nu+3)}{\nu^2+1}</math> |
|||
Szükséges, de nem elegendő feltétel, hogy az irreducibilis megoldható ötödfokú egyenlet |
|||
:<math>z^5 + a\mu^4z + b\mu^5 = 0\,</math> |
|||
racionális együtthatókkal megfeleljen a következő négyzetes görbének |
|||
:<math>y^2 = (20-a)(5+a)\,</math> |
|||
valamelz racionális <math>a, y</math>. |
|||
Mivel a [[Tschirnhaus transzformáció]]k megfontolt használatával lehetséges bármely ötödfokú polinomot átalakítani Bring-Jerrard formára, mindkét parametrizáció egy szükséges és elégséges feltételt ad annak eldöntésére, hogy az adott ötödfokú egyenlet gyökei kifejezhetőek-e gyökvonásokkal.. |
|||
== Referenciák == |
|||
* Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", ''[[Olav Arnfinn Laudal]], [[Ragni Piene]], The Legacy of Niels Henrik Abel'', pp. 207–225, Berlin, 2004,. ISBN 3-5404-3826-2. |
|||
{{csonk-matematika}} |
{{csonk-matematika}} |
||
11. sor: | 57. sor: | ||
[[Kategória:Elemi algebra]] |
[[Kategória:Elemi algebra]] |
||
[[ca:Equació de cinquè grau]] |
|||
[[en:Quintic equation]] |
|||
[[de:Gleichung fünften Grades]] |
|||
[[es:Ecuación de quinto grado]] |
|||
[[fr:Équation quintique]] |
|||
[[hu:Ötödfokú egyenlet]] |
|||
[[nl:Vijfdegraadsvergelijking]] |
|||
[[ja:五次方程式]] |
|||
[[pt:Equação do quinto grau]] |
|||
[[ru:Проблема уравнений 5-й и высших степеней]] |
|||
[[fi:Viidennen asteen yhtälö]] |
|||
[[zh:五次方程]] |
A lap 2010. május 29., 13:29-kori változata
A matematikában az ötödfokú egyenlet egy polinom egyenlet, aminek a foka 5. Általános alakja:
ahol egy test elemei, általában a racionális számok, a valós számok, vagy a komplex számok elemei, valamint
Mivel páratlan fokú, ezért általában hasonlít a képe a harmadfokú egyenlet képéhez, azzal a kivétellel, hogy egy további lokális maximum és minimum pontja van. A deriváltja egy negyedfokú függvény.
Ötödfokú egyenlet gyökeinek meghatározása
Egy polinom gyökeinek meghatározása — azon értékek, melyek teljesítik az egyenletet — racionális együtthatók esetében kiemelkedő matematikai probléma volt.
Lineáris, másod-, harmad- és negyedfokú egyenletek megoldása egyszerű, függetlenül attól, hogy a gyökök racionálisak, irracionálisak, valósak vagy komplexek; vannak megoldóképleteik. Azonban nincs olyan képlet, ami a négy alapművelet és az -edik gyökvonás segítségével kifejezhetné a megoldásokat általános esetben; ez az Abel-Ruffini tétel, melyet először 1824-ben publikáltak mint az egyik első alkalmazását az algebrai csoportelméletnek. Ez az eredmény igaz magasabb fokú egyenletekre is. Egy példa olyan egyenletre mely nem fejezhető így ki a . Ez az egyenlet Bring-Jerrard normál alakban van.
A gyakorlatban ploinomegyenletek pontos megoldása gyakran felesleges és más numerikus megoldó módszerek, mint például a Laguerre módszer, vagy a Jenkins-Traub algoritmus valószínűleg a legalkalmasabbak arra, hogy megkapjuk általános ötöd vagy magasabb fokú egyeletek közelítő megoldásait. Azonban a pontos megoldások néha hasznosak bizonyos alkalmazásokhoz és sok matematikus próbálta meghatározni ezeket.
Megoldható ötödfokú egyenletek
Néhány ötödfokú egyenlet megoldható úgy, hogy alacsonyabb fokú polinomok szorzataként fejezzük ki, például felírható mint . Más ötödfokú egyenlet mint például a nem fejezhető ki ilyen alakban. Évariste Galois kifejlesztett eljárásokat annak meghatározására, hogy egy polinom-egyenlet mikor fejezhető ki polinomok szorzataként, ezzel megalkotva a Galois elmélet területét. Ezeket az eljárásokat először John Stuart Glashan, George Paxton Young, és Carl Runge alkalmazta 1885-ben, hogy általános kritériumot adjanak a megoldhatóságra (Lazard egy modern megközelítése található a referenciákban). Azt találták, hogy bármely irreducibilis ötödfukó polinom racionális együtthetókkal Bring-Jerrard formában,
gyökökkel kifejezhető megoldású akkor és csak akkor, ha a következő alakú:
ahol és racionálisak. 1994-ben, Blair Spearman és Kenneth S. Williams egy alternatív kritériumot talált,
A kapcsolatot a 1885-i és a 1994-i parametrizáció között egyszerűen látható, ha a következőt definiáljuk
ahol
Szükséges, de nem elegendő feltétel, hogy az irreducibilis megoldható ötödfokú egyenlet
racionális együtthatókkal megfeleljen a következő négyzetes görbének
valamelz racionális .
Mivel a Tschirnhaus transzformációk megfontolt használatával lehetséges bármely ötödfokú polinomot átalakítani Bring-Jerrard formára, mindkét parametrizáció egy szükséges és elégséges feltételt ad annak eldöntésére, hogy az adott ötödfokú egyenlet gyökei kifejezhetőek-e gyökvonásokkal..
Referenciák
- Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", Olav Arnfinn Laudal, Ragni Piene, The Legacy of Niels Henrik Abel, pp. 207–225, Berlin, 2004,. ISBN 3-5404-3826-2.