„Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
FoBe (vitalap | szerkesztései) a +forr's |
|||
16. sor: | 16. sor: | ||
Az egymás mögé illesztett <math>\,a_1</math> és <math>\,a_2</math> hosszúságú szakaszok, mint átmérő fölé, rajzoljuk félkörívet! Ennek sugara a két szám számtani közepe lesz. A két szám mértani közepének megfelel a szakaszok érintkezési pontjába állított és a körívig húzott merőlegesnek a hossza. Az ábráról leolvasható, hogy az utóbbi csak abban az esetben éri el a sugár hosszát, ha <math>\,a_1=a_2</math> |
Az egymás mögé illesztett <math>\,a_1</math> és <math>\,a_2</math> hosszúságú szakaszok, mint átmérő fölé, rajzoljuk félkörívet! Ennek sugara a két szám számtani közepe lesz. A két szám mértani közepének megfelel a szakaszok érintkezési pontjába állított és a körívig húzott merőlegesnek a hossza. Az ábráról leolvasható, hogy az utóbbi csak abban az esetben éri el a sugár hosszát, ha <math>\,a_1=a_2</math> |
||
[[Fájl:számtani-mértani közép-egyenlőtlenség.png|középre]] |
[[Fájl:számtani-mértani közép-egyenlőtlenség.png|középre]] |
||
hgf drdssgjvffdeu |
|||
=== Bizonyítások teljes indukcióval === |
=== Bizonyítások teljes indukcióval === |
A lap 2010. május 26., 13:55-kori változata
A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség egy matematikai tétel, amely szerint nemnegatív valós számok számtani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok mértani középértéke; egyenlőség is csak akkor állhat fenn, ha a szóban forgó számok megegyeznek.
A tétel megfogalmazása
Bármely nemnegatív valós számok esetén
és egyenlőség csak abban az esetben áll fenn, ha .
A tétel bizonyításai
Az n = 2 eset bizonyításai
Algebrai bizonyítás
Ekvivalens átalakításokkal
ami mindig teljesül.
Geometriai bizonyítás
Az egymás mögé illesztett és hosszúságú szakaszok, mint átmérő fölé, rajzoljuk félkörívet! Ennek sugara a két szám számtani közepe lesz. A két szám mértani közepének megfelel a szakaszok érintkezési pontjába állított és a körívig húzott merőlegesnek a hossza. Az ábráról leolvasható, hogy az utóbbi csak abban az esetben éri el a sugár hosszát, ha
hgf drdssgjvffdeu
Bizonyítások teljes indukcióval
1. bizonyítás
a.) A tételt esetre már bizonyítottuk.
b.) Igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is igaz. Osszuk ugyanis fel a tetszőlegesen rögzített számot két darab -es csoportra; alkalmazzuk ezekre külön-külön az -re vonatkozó indukciós feltevést; majd második lépésben alkalmazzuk az esetre már bizonyított tételt:
Ezzel bizonyítottuk az állítást minden olyan esetre, amikor a tagok száma 2-hatvány ().
c.) Amennyiben nem 2-hatvány (), akkor az nemnegatív valós számokhoz vegyük hozzá az elemeket, és alkalmazzuk az így kapott számokra a már bizonyított állítást:
Ekvivalens átalakításokkal:
amit bizonyítani kellett.
d.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét.
esetén az egyenlőség nyilvánvalóan teljesül, hiszen ekkor
Tegyük fel most, hogy például ! Felhasználva, hogy ebben az esetben :
tehát egyenlőség nem állhat fenn.
2. bizonyítás
a.) A tételt esetre már bizonyítottuk.
b.) Igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is igaz, a már látott módon.
c.) Egyfajta fordított irányú indukciót alkalmazva igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is teljesül, és így minden természetes számra fennáll. Az nemnegatív valós számokhoz vegyük ugyanis hozzá -dik elemként a számok számtani középértékét, az számot. Az indukciós feltevésből kiindulva, ekkor, ekvivalens átalakításokkal:
,
amit bizonyítani kellett.
d.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét, a már látott módon.
3. bizonyítás
a.) A tételt esetre már bizonyítottuk.
b.) Igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is igaz. Legyen ugyanis és , ekkor az indukciós feltevés miatt
Mivel , elegendő megmutatni, hogy
Ekvivalens átalakításokkal:
,
ami mindig teljesül, mert esetén a bal oldalon két pozitív, esetén pedig két negatív szám szorzata szerepel.
c.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét, a már látott módon.
4. bizonyítás
a.) A tételt esetre már bizonyítottuk.
b.) Igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is igaz. Indukcióval feltehetjük, hogy -re igaz az állítás és szám van adva: és . Jelöljük -val az számok számtani közepét. Az indukciós hipotézis miatt tudjuk, hogy . Be kell látnunk, hogy
teljesül minden számra. Az indukció miatt már tudjuk, hogy , ezért azt kell belátni, hogy azaz
teljesül. polinom, ami 0-ban pozitív, -ban nulla, végtelenben pedig végtelenhez tart. Így van minimuma, ahol deriváltja nulla. Kiszámolva:
ahonnan .
Richard Rado bizonyítása
Ez az indukciós bizonyítás erősebb állítást igazol. Tegyük fel, hogy számunk van, ezek számtani és mértani közepe és , az első szám számtani illetve mértani közepe pedig és . Ekkor
Ez elég, hiszen ha , akkor a képlet szerint . A képlet igazolásához -nel osztva, 0-ra redukálva és bevezetve az
új változót, a következő adódik:
Ezt kell tehát -ra igazolni. Ezt -re való indukcióval bizonyítjuk. Az eset igaz. Ha pedig -re igaz, akkor -re
Pólya György bizonyítása
Ez az analízis mély fogalmait használó bizonyítás az exponenciális függvény következő tulajdonságára épül: ha valós, egyenlőség csak akkor áll, ha . Tegyük fel tehát, hogy adottak az pozitív számok, számtani közepük . Írjuk fel az említett egyenlőtlenséget az () számokra:
Összeszorozva ezeket azt kapjuk, hogy
A bal oldal miatt így alakítható:
és ezzel azt kaptuk, hogy , tehát készen vagyunk. Egyenlőség csak akkor áll, ha , azaz a számok egyenlőek. Ezt a bizonyítást Pólya György álmában találta.
Riesz Frigyes bizonyítása
esetén az egyenlőség nyilvánvalóan teljesül, hiszen ekkor . Amennyiben a számok nem egyenlőek, feltehető, hogy létezik közöttük legkisebb és legnagyobb elem, például . Helyettesítsük ebben az esetben helyébe az , helyébe pedig az értéket. Ezzel a helyettesítéssel a számtani középérték nem változott, hiszen
a mértani középérték viszont
értékkel nőtt; továbbá a számok között most már az elem eggyel többször szerepel. Ezzel az eljárással véges sok lépésben valamennyi elemet -re cserélhetjük, miközben a számtani közép változatlan marad, a mértani közép pedig fokozatosan nő. Az eljárás végén elérjük a bizonyítás elején már tárgyalt egyenlőséget, és ezzel egyben a tételt is igazoltuk.
A tétel fontosabb alkalmazásai
Pozitív valós szám és reciprokának összege nem kisebb 2-nél
A tétel segítégégvel bebizonyítható, hogy ha , akkor . Ugyanis egyenlőtlenség a tétel miatt igaz, hiszen a bal oldalon a és számtani, míg a jobb oldalon a mértani közepük van. A jobb oldalon a gyök alatt 1 van, és mivel , ezért , és 2-vel szorozva . QED
A tétel súlyozott változata
A tétel súlyozott változata a következő. Ha nemnegatív valós számok, pozitív valós számok, amikre teljesül, akkor
Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha . Ennek speciális esete az eredeti tétel.
A tétel általánosításai
- a hatványközepek közötti egyenlőtlenség
- a szimmetrikus közepek közötti egyenlőtlenség
- a Jensen-egyenlőtlenség
A tétellel kapcsolatos (matematika)történeti érdekességek
Források
- Dr. Korányi Erzsébet: Matematika a gimnáziumok 10. osztálya számára ISBN 963 8332 84 0
- Besenyei Ádám: A számtani-mértani közép és egyéb érdekességek