„Ideál (gyűrűelmélet)” változatai közötti eltérés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
aNincs szerkesztési összefoglaló
15. sor: 15. sor:
== Balideál, jobbideál ==
== Balideál, jobbideál ==


Ha <math>R</math> nem kommutatív, akkor vizsgálhatjuk <math>R</math> azon <math>I</math> részgyűrűit, amelyekre <math>r\in R, s\in I</math> esetén teljesül <math>rs\in I</math> (de <math>sr\in I</math> nem feltétlenül). Az ilyen <math>I</math> részgyűrűket balideálnak nevezzük. Hasonlóan, ha <math>r\in R, s\in I</math> esetén teljesül <math>sr\in I</math>, akkor <math>I</math>-t jobbideálnak nevezzük. Néha a bal- illetve a jobbidáloktól való különbséget hangsúlyozandó az ideálokat kétoldali ideálnak is nevezzük. I akkor és csak akkor kétoldali ideál, ha egyszerre balideál és jobbideál is.
Ha <math>R</math> nem kommutatív, akkor vizsgálhatjuk <math>R</math> azon <math>I</math> részgyűrűit, amelyekre <math>r\in R, s\in I</math> esetén teljesül <math>rs\in I</math> (de <math>sr\in I</math> nem feltétlenül). Az ilyen <math>I</math> részgyűrűket '''balideál'''nak nevezzük. Hasonlóan, ha <math>r\in R, s\in I</math> esetén teljesül <math>sr\in I</math>, akkor <math>I</math>-t '''jobbideál'''nak nevezzük. Néha a bal- illetve a jobbidáloktól való különbséget hangsúlyozandó az ideálokat '''kétoldali ideál'''nak is nevezzük. I akkor és csak akkor kétoldali ideál, ha egyszerre balideál és jobbideál is.


A valós számtest feletti 2×2-es mátrixok gyűrűjében balideált (de nem jobbideált) alkotnak azok a mátrixok, amelyeknek a második oszlopában csupa 0 áll. Ugyanebben a gyűrűben jobbideált (de nem balideált) alkotnak azok a mátrixok, amelyeknek második sorában csupa 0 áll.
A valós számtest feletti 2×2-es mátrixok gyűrűjében balideált (de nem jobbideált) alkotnak azok a mátrixok, amelyeknek a második oszlopában csupa 0 áll. Ugyanebben a gyűrűben jobbideált (de nem balideált) alkotnak azok a mátrixok, amelyeknek második sorában csupa 0 áll.


== Ideálok és homomorfizmusok kapcsolata ==

Tetszőleges gyűrűhomomorfizmus magja ideál, és megfordítva, minden ideál előáll egy gyűrűhomomorfizmus magjaként. Ha <math>\ker \phi</math> a zérógyűrű, akkor <math>\phi</math> izomorfizmus.



== Forrás ==
== Forrás ==

A lap 2010. január 22., 06:11-kori változata

Az absztrakt algebra gyűrűelmélet nevű ágában ideálnak nevezzük az gyűrű részhalmazát, ha részgyűrűje -nek és minden -re és . Ezt a kapcsolatot és között az szimbólummal jelöljük.

Példák

Az egész számok gyűrűjében a héttel osztható számok ideált alkotnak, hiszen egy héttel osztható számot valamilyen egész számmal megszorozva ismét csak héttel osztható számot kapunk.

A valós számtest feletti 6×6-os mátrixok gyűrűjében ideált alkotnak azok a mátrixok, amelyeknek a determinánsa 0, hiszen 0 determinánsú mátrixot tetszőleges mátrixszal szorozva ismét nulla determinánsú mátrixot kapunk.

A intervallumon értelmezett, folytonos egyváltozós valós függvények gyűrűjében ideált alkotnak azok az függvények, amelyekre .

Alaptulajdonságok

Tetszőleges gyűrű ideál saját magában (azaz mindig fennáll), és bármely gyűrűben ideál a pusztán a nullelemből álló zérógyűrű. Ezeket gyakran triviális ideálnak, az ezektől különböző ideálokat pedig valódi ideálnak nevezzük. Egyszerű gyűrű az olyan gyűrű, amelynek csak triviális ideáljai vannak. Ha egy ideál tartalmaz egy egységet, akkor triviális ideál. Minden ferdetest egyszerű gyűrű, hiszen ferdetestben minden nemnulla elem egység. Ideálok metszete maga is ideál.

Balideál, jobbideál

Ha nem kommutatív, akkor vizsgálhatjuk azon részgyűrűit, amelyekre esetén teljesül (de nem feltétlenül). Az ilyen részgyűrűket balideálnak nevezzük. Hasonlóan, ha esetén teljesül , akkor -t jobbideálnak nevezzük. Néha a bal- illetve a jobbidáloktól való különbséget hangsúlyozandó az ideálokat kétoldali ideálnak is nevezzük. I akkor és csak akkor kétoldali ideál, ha egyszerre balideál és jobbideál is.

A valós számtest feletti 2×2-es mátrixok gyűrűjében balideált (de nem jobbideált) alkotnak azok a mátrixok, amelyeknek a második oszlopában csupa 0 áll. Ugyanebben a gyűrűben jobbideált (de nem balideált) alkotnak azok a mátrixok, amelyeknek második sorában csupa 0 áll.


Ideálok és homomorfizmusok kapcsolata

Tetszőleges gyűrűhomomorfizmus magja ideál, és megfordítva, minden ideál előáll egy gyűrűhomomorfizmus magjaként. Ha a zérógyűrű, akkor izomorfizmus.


Forrás