Peano-aritmetika

Peano-aritmetika

A Peano-aritmetika a természetes számok egy elsőrendű (axiomatikus) elmélete, melyet Giuseppe Peano olasz matematikus 1889-ben vezetett be. jel: PA

Peano-féle elsőrendű nyelv

A Peano-aritmetika nyelve a következő nem logikai jeleket tartalmazza:

• A nulla konstans jele: $0\,$
• A rákövetkezés 1-változós műveleti jele:$S\,$
• Az összeadás 2-változós műveleti jele: $+\,$
• A szorzás 2-változós műveleti jele: $\cdot \,$

Ezen a nyelven felírt elsőrendű formulákat nevezzük Peano-fomuláknak.

Peano-féle axiómák

1. A nulla semminek sem a rákövetkezője. $\forall x\quad S(x)\neq 0$
2. Ha két természetes szám rákövetkezője megegyezik, akkor a két szám is megegyezik: $\forall x\,\forall y\quad (S(x)=S(y)\Rightarrow x=y)$
3. Minden nem nulla természetes szám valamelyik másik természetes szám rákövetkezője: $\forall x(x\neq 0\Rightarrow \exists yS(y)=x)$
4. A nulla hozzádása nem változtat a természetes számokon: $\forall x\quad x+0=x$
5. Ha egy természetes számoz hozzáadjuk egy másik természetes szám rákövetkezőjét, akkor a két szám összegének a rákövetkezőjét kapjuk:$\forall x\,\forall y\quad x+S(y)=S(x+y)$
6. Tetszőleges természetes számot nullával szorozva nullát kapunk: $\forall x\quad x\cdot 0=0$
7. Teteszőleges $x\,$ természetes számot egy másik $y\,$természetes szám rákövetkezőjéval szorozva $x\cdot y+x$-et kapunk:$\forall x\,\forall y\quad x\cdot S(y)=x\cdot y+x$
8. (A teljes indukció axióma sémája) Tetszőleges $\varphi$ Peano-formulára, ha $\varphi$ igaz $0\,$-ra és ha igaz $y\,$-ra, akkor igaz $S(y)\,$-ra is, akkor $\varphi$ igaz minden természetes számra:$\varphi _{x}[0]\land \forall y(\varphi _{x}[y]\Rightarrow \varphi _{x}[S(x)])\Rightarrow \forall x\varphi (x)$